Résumé

Modèles discrétisés du système d’écriture à la main par la transformation d’Euler et par RLS

Auteurs

Média

0:00
available

Métriques

397
0
95.78 Ko
 application/pdf
bitcache://4d8e1580cd28c9cc3b52531c6ec37279dcaa03d4

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2015-1/13321</identifier><creators><creator><creatorName>Mohamed Benrejeb</creatorName></creator><creator><creatorName>Maroua El Kastouri</creatorName></creator><creator><creatorName>Afef Abdelkrim</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Modèles discrétisés du système dâécriture à la main par la transformation dâEuler et par RLS</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2015</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 18 Apr 2015</date>
	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Tue 18 Jul 2017</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">4d8e1580cd28c9cc3b52531c6ec37279dcaa03d4</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>22116</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

1 Modèles discrétisés du système d’écriture à la main par la transformation d’ Euler et par RLS Maroua EL KASTOURI Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis LA.R.A BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie maroua.elkastouri@enit.rnu.tn Afef ABDELKRIM Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis LA.R.A BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie afef.a.abdelkrim@ieee.org Mohamed BENREJEB Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis LA.R.A BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé— Plusieurs modèles mathématiques ont été élaborés dans la littérature afin de caractériser et étudier le processus d’écriture à la main. Yasuhara a réalisé un dispositif physique qui a conduit à un modèle mathématique non linéaire continu. Les travaux envisagés dans ce papier concernent l’elaboration de modèles discrets obtenus par discrétisation du modèle continu de Yasuhara. L’utilisation de la transformation d’Euler d’une part et de la méthode des moindres carrés récursifs d’autre part a montré l’intérêt de la première approche par rapport à la seconde pour la qualité de l’estimation des paramètres du modèle discret. Keywords— Processus d’écriture à la main; Modélisation; Modèle de Yasuhara; Discrétisation; Transformation d’Euler; RLS. I. INTRODUCTION La reconnaissance de l’écriture manuscrite pose un problème difficile qui est lié essentiellement à la variabilité des écritures et au fait de ne pas savoir bien modéliser les connaissances et les informations utiles à la reconnaissance [1]. La modélisation du processus d’écriture à la main se base essentiellement sur les mouvements réalisés par la main dans l’espace lors de l’écriture dans le plan. Elle s’intéresse au comportement de la main et du stylo suite aux efforts appliqués par les groupes musculaires. Parmi les travaux de recherche liés à ce processus, on trouve ceux relatifs à l’élaboration de modèles physiques ou mathématiques qui le représentent plus ou moins bien. Van Der Gon [2] a commencé par travailler sur la génération des mouvements d’écriture rapide en supposant que l’écriture est le résultat des articulations du poignet et des doigts. Ce modèle physique est suivi d’un dispositif électromécanique construit par Mac Donald [4]. Dooijes s’est intéressé aux mouvements d’écriture et aux axes principaux du repère d’écriture [5]. Yasuhara [3] a tenu compte de la viscosité de la main et de la force de frottement qui réside entre la pointe du stylo et la surface d’écriture. D’autres recherches ont été basées sur la minimisation dynamique du carré de la troisième dérivée de la position de la main dans l’ensemble du mouvement. Plusieurs techniques de modélisation utilisent les approches non conventionnelles telles que les réseaux de neurones artificiels ou la logique floue [7] [8] [18] et d’autres, [9-10] [19], l’estimation paramétrique d’une trace graphique générée par des scripteurs moyennant les algorithmes d’identification récursifs. La première section de ce papier présente le modèle de Yasuhara à discrétiser en utilisant la transformation d’Euler. Dans la deuxième section, une application de l’algorithme des moindres carrés récursifs (en anglais Recursif Least Square, RLS) a permis l’élaboration d’un nouveau modèle dont nous comparerons les performances avec celles obtenues par utilisation de la transformation d’Euler. II. MODÉLISATION DU PROCESSUS D’ÉCRITURE À LA MAIN Yasuhara [3], tout en considérant dans son modèle l’effet de la viscosité de la main et d’une force de frottement, a estimé que les forces musculaires équivalentes, exercées sur la pointe du stylo, sont chargées de deux types de signaux électromyographiques EMG, mesurés sur la surface de l’avant bras au cours du mouvement de l’écriture. Il a considéré ces forces comme étant les excitations du mouvement et a réussi à reconstruire des traces de l’écriture manuscrite. Dans son approche, les signaux EMG sont utilisés dans le processus d’estimation des forces équivalentes incluses dans l’équation du mouvement qu’il avait proposée [3]: ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 2 0.75 (4.7 ) 0.75 (4.7 ) x y x F x x y y F y x y  = − + +   = − +  + ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ (1) ( , )d x y= étant les coordonnées x et y de la pointe du stylo, ( ) 1 2 2 2 0.75 4.7dk x y = + +ɺ ɺ le coefficient de viscosité équivalent et xF et yF les efforts musculaires appliqués à la masse M selon les axes x et y. La caractérisation des stimuli musculaires constitue l'un des problèmes important nécessaire à l'étude des mouvements de la main lors du mouvement de l'écriture. Les travaux de Iguider et Yasuhara [11] ont montré, par ailleurs, que dans la génération des formes de l'écriture, seule la durée de l'application des forces Fx et Fy intervient et pas leurs amplitudes. C’est pourquoi, est choisie une commande à trois niveaux qui tient 2 compte essentiellement du temps d'application des efforts musculaires. Cette commande est déterminée comme indiqué ci dessous. En notant par ( )ix t et ( )iy t , ou encore par ix et iy , les signaux ( )x t et ( )y t définis à l’instant it et par ix∆ et iy∆ les écarts de positions définis à l’instant it par : 1i i ix x x+∆ = − et 1i i iy y y+∆ = − (2) Les signes respectifs de x∆ et de y∆ donnent le sens et la direction que prend le stylo lors de l'écriture, tels que : si 0x∆ > , alors la consigne est Fx = 1. si 0x∆ = , alors la consigne est Fx = 0. si 0x∆ < , alors la consigne est Fx = -1. (3) si 0y∆ > , alors la consigne est Fy = 1. si 0y∆ = , alors la consigne est Fy = 0. si 0y∆ < , alors la consigne est Fy = -1. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Forces motrices de la main Temps Fx 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 0 1 Temps Fy Fig. 1. Stimuli de référence relatifs à la lettre arabe “‫”س‬ (SIN) Le processus de l’écriture à la main fait intervenir plusieurs facteurs et apparaît comme un système dont les relations entre ses entrées et ses sorties sont difficiles à mettre en équations d’une façon précise. III. DISCRÉTISATION DU MODÈLE DE YASUHARA La discrétisation exacte d’un modèle continu non linéaire étant, dans la plupart des cas, délicate, on est alors amené à chercher un modèle discret approché correspondant. A. Représentation d’état du processus étudié Pour le modèle continu de Yasuhara (1), le choix du vecteur d’état Z et de commande u telles que: 1 2 3 4 z x z x Z z y z y =  = =  =  = ɺ ɺ et x y F u F   =     (5) conduit au modèle mathématique du quatrième ordre suivant: 1 2 2 22 2 1 2 2 4 3 4 4 42 2 1 2 2 4 0.75 (4.7 ) ( ) 0.75 (4.7 ) ( ) x y z z z F z z z z z z F z z z =   = − +  +  =  = − + + ɺ ɺ ɺ ɺ (6) qui, mis sous forme matricielle, devient: ( )Z F Z Gu y CZ  = +  = ɺ (7) avec : 2 22 2 1 2 2 4 4 42 2 1 2 2 4 0.75 (4.7 ) ( ) ( ) 0.75 (4.7 ) ( ) z z z z F Z z z z z      − +  +  =       − +  +  0 0 1 0 0 0 0 1 G      =       (8) et : [0 1 0 1]C = Il est envisagé dans ce papier d’élaborer des modèles discrets d’un tel processus représenté initialement dans l’espace d’état.. B. Discrétisation du modèle de Yasuhara utilisant l’approximation d’Euler Pour discrétiser le système continu non linéaire régi par l’équation d’état: ( ) ( )Z F Z G Z u= +ɺ (9) où ( )F Z et ( )G Z sont des fonctions vectorielles, plusieurs techniques peuvent être utilisées [12-14] dont nous allons considérer d’abord l’approximation d’Euler. Cette transformation, d’Euler, utilise les vecteurs d’état ( )Z t et ( )Z tɺ à l’instant t approchés respectivement, comme suit : 1 ( ) ( ) k k k Z t Z Z Z Z t T + =   − =  ɺ (10) 3 Z à l’instant kT est noté kZ , T étant la période d’échantillonnage. Il s’ensuit le modèle discret approché, correspondant au système d’écriture, suivant : 1 ( ) ( )k k k k kZ TF Z Z TG Z u+ = + + (11) Nous sommes aussi en mesure d’associer, à un sytème continu, un système discret et inversement [14]. La précision de telles approximations dépend essentiellement du choix de la période d’échantillonnage mais aussi de la forme de la lettre à écrire. C. Choix de la période d’échantillonnage Les dynamiques des systèmes linéaires discrétisés convergent vers celles du système continu, si la période d’échantillonnage T satisfait le théorème de Shannon [15]. Le modèle continu de Yasuhara est entraîné par les deux entrées, Fx et Fy, qui sont constantes par morceaux sur l'intervalle d’échantillonnage T . Une multitude de tests a été mené afin de déterminer la période d’acquisition des donnéesla plus convenable, permettant d’aboutir à des résultats satisfaisants. La figure 3 présente les réponses du modèle discrétisé par Euler et du système continu non linéaire de Yasuhara pour différentes valeurs de la période d’échantillonnage. Il apparaît que les réponses sont d’autant plus satisfaisantes que pour la période d’achantillonnage est plus faible. Nous avons retenu commme période d’échantillonnage 0.001s. D. Résultats du modèle discret obtenu par Euler Les simulations du modèle continu et de celui discrétisé par la transformation d’Euler ont permis d’enregistrer leur réponses consignées dans la figure 4. Les résultats obtenus par utilisation de l’approximation d’Euler constituent des résultats satisfaisants, permettant de retrouver des traces graphiques convenables pour la période d’échantillonnage retenue dans la section précédente. IV. EFFICACITÉS COMPARÉES EULER / RLS L’identification est une phase permettant de déterminer les caractéristiques dynamiques d’un système physique. La connaissance des paramètres d’un modèle dynamique est nécessaire pour la conception et la mise en œuvre d’un système performant de régulation [16]. L’identification sert en général, à déterminer les paramètres caractéristiques d’un modèle interne ou externe. Ces paramètres sont issus d’un ensemble de mesures entrées-sorties du processus étudié dépendant des données acquises à partir d’une expérience, d’un modèle choisi à partir des lois physiques régissant le système ou à partir de résultats de l’expérience et des algorithmes d’identification bien appropriés [17]. Le choix de l’algorithme d’identification est lié au choix du modèle qui minimise les erreurs entre les mesures et le modèle. Généralement, ce critère est appliqué lors de l’utilisation des algorithmes basés sur les méthodes des moindres carrés telles que les moindres carrés ordinaires MC (en anglais LS pour Least Square) et celle récursive MCR (en anglais RLS pour Recursive Least Square). -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Cas Euler Cas du modèle continu -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Cas Euler Cas du modèle continu -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Cas Euler Cas du modèle continu Fig. 2. Réponses du modèle discret obtenu par Euler (-) et du modèle continu (…) pour différentes valeurs de T pour la lettre arabe “‫”س‬ (SIN) Un modèle de troisième ordre est proposé dans [9] [19], figure 3. Il admet, en entrées, les commandes Fx et Fy du modèle de Yasuhara pour reconstruire la trace graphique de la lettre générée en sortie et ce faisant suite à un ensemble de tests réalisé afin de pouvoir connaître l’ordre du modèle convenable pour obtenir des résultats satisfaisants. 0.05T s= 0.01T s= 0.001T s= 4 Fig. 3. Structure du modèle RLS [9] Ce modèle est décrit par les équations (12) suivantes: 3 1 1 1 2 1 1 1 3 2 2 1 2 2 2 1 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( 1) ( ) ( 1)) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( 1) ( ) ( 1)) e i e i e i i x i y i e i e i e i i x i y i x k a k x k i b k y k i c k F k i d k F k i y k a k y k i b k x k i c k F k i d k F k i = = = = = − − + − + − + + − + = − − + − + − + + − + ∑ ∑ ∑ ∑ (12) avec : ,e ex y : signaux estimés relatifs aux cordonnées x et y, ,x yF F : commandes Fx et Fy, , , etj j j j i i i ia b c d : paramètres du modèle introduit dans (12), 1,2j = , à déterminer, Les paramètres de ce modèle sont identifiés par l’algorithme des moindres carrés récursifs et le choix de l’algorithme d’identification est lié au choix du modèle qui minimise les erreurs entre les mesures et le modèle. L’algorithme RLS est formulé selon le système d’équations matricielles suivant (13),[16]: ˆ ˆ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ˆ( ) ( ) ( 1) ( ) i i i i i T i i i i i i T i i i i T i e i i k k P k k k P k k k P k P k P k k P k k k h k k k θ θ ε ε θ  = − + Ψ  − Ψ Ψ − = − − + Ψ − Ψ  = − − Ψ (13) avec : ˆ ( )i kθ : vecteur des paramètres estimés à l’instant kT , 1,2i = ( )iP k : matrice d’adaptation à l’instant kT , 1,2i = ( )i kε : erreur de prédiction à l’instant kT , 1,2i = ( )j eh k : sortie du système à l’instant kT , 1,2j = ( )i kΨ : vecteur d’observation à l’instant kT , 1,2i = . Dans le but de reconstruire la lettre générée par le modèle de Yasuhara discrétisé, les commandes Fx et Fy sont appliquées, comme entrées au modèle (12). La figure 5 montre une légère concordance entre la réponse du modèle discret obtenu par Euler (…) et celle estimée dans le cas de l’algorithme RLS (-). Cependant, une erreur est notée entre la réponse du modèle discret et celle estimée par l’algorithme RLS, figure 5, s’avère plus remarquable pour les lettres à mouvement dominant vertical que pour celles correspondent à mouvement horizontal. -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Cas Euler Cas du modèle continu -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Cas Euler Cas du modèle continu Fig. 4. Comparaison des réponses des modèles continu de Yasuhara et discretisé obtenu par Euler pour le mot “ ” (MAA) et la lettre “‫ع‬” (AYN) V. CONCLUSION La discrétisation du modèle continu de Yasuhara est obtenue, dans ce papier, par la transformation d’Euler. Elle a )(kye )(kxe Modèle obtenu par RLS )(kFy )(kFx )3( −kye )1( −kye )2( −kye )2( −kxe )3( −kxe )1( −kxe 5 conduit à des résultats satisfaisants comparés par ceux relatifs au modèle continu. L’application de l’algorithme RLS pour l’estimation des paramètres du modèle discrétisé a permis de trouver aussi des résultats satisfaisants dépendant toutefois de la nature du mouvement de l’écriture de la lettre, à dominante soit horizontale soit verticale. -0.4 -0.2 0 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 x y Cas de l'algorithme RLS Cas Euler -0.4 -0.2 0 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 x y Cas de l'algorithme RLS Cas Euler Fig. 5. Réponses du modèle discret obtenu par Euler (…) et celles relatives au cas de l’algorithme RLS (-) REFERENCES [1] M. Buisson, I. Sallagoïty, S. Athène et C. Mertz, “De l’analyse du mouvement à la conception des interfaces : application à l’écriture et au geste,” 15ème Conférence Francophone sur l'Interaction Homme-Machine, Paris, 2003. [2] D. Van Der Gon, J. P. Thuring et J. Strackee, “A handwriting simulator,” Physics in Medical Biology, pp. 407-414, 1962. [3] M. Yasuhara, “Experimental Studies of Handwriting Process”, Report of the Research Laboratory of Communication Science, University of Electro-Communications, Japan, Vol. 25-2, (Science and Technology section), pp. 233-254, March 1975. [4] J. S. MacDonald, “Experimental studies of handwriting signals,” Ph.D Dissertation, Mass. Inst. of Tech., Cambridge, Aout, 1982. [5] E. Dooijes, “Analysis of handwriting movements,” Acta Psychologica, Vol. 54, pp. 99-114,1983. [6] S. Manabu, T. Kosaku et Y. Murata, “Modeling of Human Handwriting Motion by Electromyographic Signals on Foream Muscles,” CCCT’03, Vol. 4, pp. 174-179, Orlando-Florida, 2003. [7] A. Abdelkrim, “Contribution à la modélisation du processus d’écriture à la main par approches relevant du calcul évolutif,” Thèse de Doctorat, ENIT, Tunis, 2005. [8] M. Benrejeb, A. Abdelkrim, M. Sano, “Sur l’étude du processus d'écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles,” Revue e-STA, Vol. 2, 2005. [9] M. El Kastouri, A. Abdelkrim, M. Benrejeb, “Control signal reconstitution of handwriting system,” Proceeding of the 3rd International Conference on Computer Modelling and Simulation, pp. 40-44, Brno 2012. [10] I. Chihi, C. Ghorbel, A. Abdelkrim and M. Benrejeb, “Parametric identification of handwriting system based on RLS algorithm,” ICCAS’11, October 26-29, Kintex Gveonggi-do, Seoul, 2011. [11] Y. Iguider, M. Yasuhara, “Extracting control pulses of handwriting movement,” Transactions of the Society of Instrument and Control Engineers, Vol. 32 No. 8, pp. 1175-1184, Japon, 1995. [12] N. K . Sinha et Q. Zhou, “Discrete time approximation of multivariable continuous time system,” IEEE Proceedings, IFAC, Theory and Appl. of Digital Control, New Delhi, 1983. [13] D. Soudani, “Sur la détermination explicite de solutions à des problèmes d’analyse et de synthèse de systèmes singulièrement perturbés. Application à un générateur de vapeur d’un navire,” Thèse de Doctorat, ENIT Tunis, 1997. [14] N. BenHadj Braiek, N. Tej, “On the discretization of nonlinear polynomial systems,” INAX Multiconference Computational Engineering and Systems Application, CESA’98, Hammamet, pp. 590, 1998. [15] J. Rodríguez-Millán, C. González, “Three Mathematical supported proposals for the discretization of nonlinear dynamical control systems,” Nonlinear Analysis, 63, pp. 617-628, 2005. [16] I. D. Landau, “Identification et Commande des Systèmes,” Édition Hermès, Paris, 1993. [17] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J. P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis, “Modélisation et identification des processus,” Tomes 1 et 2, Édition Technip, Paris, 1992. [18] M. A. Slim, M. El Kastouri, A. Abdelkrim and M. Benrejeb, “Hybrid Validation of Handwriting Process Modelling,” Neural Information Processing Lecture Notes in Computer Science, Vol. 7664, Doha, pp. 76-84, 2012. [19] M. El Kastouri, A. Abdelkrim, M. Benrejeb, “On the use of ARMAX approach for handwriting system modelization,” Proceeding of the 2014 International Conference on Control, Decision and Information Technologies, CoDIT’14, pp. 21, Metz, 2014.