Stabilisation de systèmes à retard par un régulateur du premier ordre

18/04/2015
Publication e-STA e-STA 2014-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2014-2:13316
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Stabilisation de systèmes à retard par un régulateur du premier ordre

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	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Mon 20 Nov 2017</date>
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Stabilisation de systèmes à retard par un régulateur du premier ordre Karim Saadaoui, Nidhal Ben Hassen, Mohamed Benrejeb Laboratoire de Recherche LARA-Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, BP 37, Le Belvédère 1002, Tunis, Tunisie E-mail: karim.saadaoui@isa2m.rnu.tn, bh.nidhal@gmail.com, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé__Dans cet article, le domaine de stabilité d’un contr- ôleur du premier ordre appliqué à un système à retard, est déterminé par une méthode paramétrique. L’approximation de Padé est utilisée pour calculer les marges admissibles de l'un des paramètres du contrôleur. Ensuite, pour une valeur fixée de ce dernier, les régions de stabilité des paramètres restants sont déterminées en utilisant la méthode de la D-partition. Un cas d’application est traité pour illustrer la mise en œuvre de la méthode proposée. Mots clés__système à retard; contrôleur premier ordre; stab- ilisation; extension Hermite-Biehler ; D-partition. I. INTRODUCTION La stabilité des systèmes à retard reste, actuellement, un domaine de recherche actif [1]. Récemment, il y a un grand intérêt pour le calcul des régions de stabilité des régulateurs simples. En utilisant l’extension du théorème de Hermite- Biehler, pour les systèmes à retard du premier ordre, les domaines de stabilité des régulateurs PI et PID sont déterm- inés respectivement dans [2,3]. Une approche différente a été utilisée dans [4] pour déterminer les régions de stabilité d’un régulateur PID appliqué à un système du second ordre avec retard. La méthode de D-partition a été utilisée respect- ivement dans [5,6] et [7], pour déterminer les régions de stabilité d’un contrôleur PID et d’un contrôleur du premier ordre, pour un système linéaire à retard. Plusieurs méthodes de calcul ont été proposées afin de déterminer les régions de stabilité d’un régulateur du premier ordre pour les systèmes linéaires sans retard [8-12]. En effet, la recherche d'une méthode de conception analytique pour les régulateurs du premier ordre, en avance ou en retard de phase, n’a cessé d’intéresser les chercheurs et ce depuis des décennies. Contrairement au régulateur PID, la séparation des paramètres pour un contrôleur du premier ordre n’est pas possible. En outre, la forme des régions de stabilité d’un régulateur du premier ordre est différente de celle d’un régulateur PID [10]. Le travail, développé dans ce papier, s’intéresse à la détermination des régions de stabilité d’un tel régulateur appliqué à un système linéaire à retard. Cet article est organisé comme suit. Dans la deuxième section, l’approximation de Padé est utilisée pour calculer les marges admissibles de l'un des paramètres du contrôleur. Puis, les domaines de stabilité dans le plan des deux autres paramètres sont déterminés en utilisant la méthode de D-partition. Dans la dernière partie est présentée l’application de la méthode proposée à un système linéaire à retard du troisième ordre. II. EXTENSION DU THEOREME DE HERMITE-BIEHLER PROPOSEE POUR LA STABILISATION Notations Soit R l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes et C , 0C et C , respectivement, les points dans le demi-plan gauche ouvert, l’axe j , et les points dans le demi-plan droit ouvert du plan complexe. Pour l’ensemble des polynômes 1 l,..., R s non nuls, l étant un entier positif, le plus grand commun diviseur, noté pgcd 1 l,..., , est unique . Si celui-ci est égal à 1, alors les polynômes 1 l,..., sont dits premiers entre eux. La dérivée de est notée par : '. Position du problème L’ensemble des polynômes de Hurwitz stables étant : (s) R s : (s) 0 s C la signature (s) du polynôme (s) R s est l’écart entre les racines appartenant à C et les racines appartenant à C . Les composantes paires / impaires a et b de (s) sont les polynômes uniques de 2 R s , tels que : 2 2 (s) a(s ) sb(s ) (1) A partir de ces composantes, il est possible de déterminer une condition nécessaire et suffisante, caractérisée par la propriété d’entrelacement des racines réelles des composantes paires / impaires, pour que le polynôme (s) soit de Hurwitz, stable. Ce résultat est connu comme étant le théorème de Hermite- Biehler. Ci-dessous est présentée une généralisation de ce théorème, applicable à des polynômes non nécessairement stables. On définit le signe de u, R 1,0,1 , comme suit : 1 if u 0 u 0 if u 0 1 if u 0 (2) Lemme1. [13] Soit (s) R s un polynôme non nul à composantes paires / impaires, a et b. Pourb 0 et a et b premiers entre eux, on a : ( ) r , si et seulement si les racines réelles négatives 1 lv ,..., v de multiplicité impaire de b respectant l’ordre suivant : 1 2 lv v ...v , vérifient : a(0) 2 a(v ) 2 a(v ) ...1 2 b(0) si deg ré( ) est impair l ( 1) 2 a(v )1r a(0) 2 a(v ) 2 a(v ) ...1 2 b(0) si deg ré( ) est pair l 1 ( 1) 2 a( ) (3) Le résultat suivant détermine le nombre des racines réelles négatives d’un polynôme réel. Lemme2. [8] Un polynôme non nul, tel que (s) R s et (0) 0, a r racines réelles négatives sans tenir compte de l’ordre de multiplicité, si et seulement si le signe du polynôme 2 2 (s ) s '(s ) est égal à 2r. Toutes les racines de sont réelles négatives et distinctes, si et seulement si : 2 2 (s ) s '(s ) . Pour l’extension de l'algorithme permettant la détermination du gain stabilisant, définie dans [13], considérons le système défini par : 1 G(s) p(s)q (s) (4) p et q R s étant premiers entre eux et le degré de p, noté m, étant inférieur ou égal à celui de q, noté n. L’ensemble : (p,q) : R, (s, ) q(s) p(s) rr constitue le domaine de toutes les valeurs de tel que (s, ) a une signature égale à r. Soit (h,g) et f,e les composantes impaires / impaires, respectivement de q(s) et de p(s), nous avons : 2 2 2 2 q(s) h(s ) sg(s ) p(s) f (s ) se(s ) (5) Soit (H,G) les composantes paires / impaires de q(s)p(-s) et : 2 F(s ) : p(s)p( s) (6) En remplaçant 2 s par u, nous avons : H(u) h(u)f(u) ug(u)e(u) G(u) g(u)f(u) h(u)e(u) (7) 2 2 F(u) f (u) ue (u) Il vient : 2 2 2 q(s) p(s) p( s) H(s ) F(s ) sG(s ) (8) G 0 existe et soit 1 lv ,..., v les racines réelles négatives de multiplicité impaire de G(u) , respectant l’ordre suivant 1 2 lv v ... v , et telles que : v : 00 et l 1v : . L’algorithme suivant détermine si l’ensemble r (p,q) est vide ou non et donne les valeurs stabilisantes quand il n’est pas vide. Algorithme élaboré 1. Considérons toutes les séquences des signes 0 1 l 0 1 l 1 i ,i ,...,i pour r m impair i ,i ,...,i pour r m pair (9) avec : i 1,1j pour : j=0,1,…,l+1, 2. Choisissons toutes les séquences telles que : l 0 1 2 3 l l 1 0 1 2 3 l 1 i i 2i 2i 2i ... 2( 1) i pour r m impair r (p) 2i 2i 2i ... 2( 1) i pour r m pair (10) 3. Pour chaque séquence des signes ji satisfaisant la deuxième étape, soit max j H max (v ) F (11) jv pour tout jF(v ) 0 et j ji F(v ) 1 et : min j H min (v ) F (12) jv pour tout jF(v ) 0 et j ji F(v ) 1 L’ensemble r (p,q) est non vide si et seulement si, au moins, une de séquence de signe satisfaisant la deuxième étape, max min est vérifiée. 4. r (p,q) est égale à l’union des intervalles max min, pour chaque séquence des signes satisfaisant la troisième étape. L’algorithme précédent est spécialisé pour déterminer tous les contrôleurs proportionnels C(s) stabilisant le systèmeG(s) . Ceci est achevé par le remplacement de r dans la troisième étape de l’algorithme par n, le degré de r (s, ) . Remarque1. A partir de la troisième étape de l’algorithme, une condition nécessaire pour l’existence de r (p,q) est que la partie impaire de q(s) p(s) p( s) a au moins r racines réelles négatives avec une multiplicité impaire : 2 1)( pr r (13) Quand un problème de stabilisation est à résoudre, cette borne inférieure devient : 2 1)(pn r (14) III. STABILISATION PAR UN CONTROLEUR DU PREMIER ORDRE A. Idée de base Dans cette section, sont déterminées les régions de stabilité d’un régulateur du premier ordre de la forme : 2 3 1 s C(s) s (15) appliqué à un système linéaire à retard, caractérisé par la fonction de transfert suivante : Ls n n m m e asa bsb sG 0 0 )(   (16) L étant le temps de retard,L 0 , et :deg ré(q) n m deg ré(p) . En premier lieu, les valeurs admissibles du paramètre 1 sont calculées ; puis, par application de la méthode de D-partition pour une valeur de 1 fixée dans cet intervalle, nous obtenons la région des paramètres stabilisant, définie dans le plan 1 2( , ) . En appliquant à nouveau cette méthode pour toutes les valeurs admissibles de 1 , d’autres régions de stabilité du régulateur du premier ordre étudié peuvent être déterminées. B. Méthode proposée pour la détermination des valeurs admissibles de 1 Considérons l’approximation de Padé d’ordre l suivante du retard : r( s)Ls e r(s) (17) r(s) étant le polynôme caractéristique du système bouclé donné par : 0 1 2 3 1 2 3 1 0 2 3 0 (s, , , ) (s )q(s)r(s) ( s )p(s)r( s) (s )q (s) ( s )p (s) (18) avec : 0 0q (s) q(s)r(s) et p (s) p(s)r( s) (19) La multiplication de 0 1 2 3(s, , , ) par 0p ( s) donne : 0 1 2 3 0 1 2 3 0 2 2 2 2s G(s ) H(s ) F(s )1 3 2 2 2s H(s ) G(s ) F(s )1 2 (s, , , ) (s, , , )p ( s) (20) où H, G et F sont donnés par (7). Notons que la partie paire de 0 (s) a seulement deux paramètres 1 3( , ) et la partie impaire de 0 (s) deux paramètres 1 2( , ) . A partir de la remarque1, la partie impaire 1 2H(u) G(u) F(u) de 0 (s) doit avoir au moins 1r racines réelles, négatives et distinctes, 0 1 n l (p ) r 2 . A cette étape, le paramètre 3 est éliminé et un problème auxiliaire à deux paramètres doit être résolu. Soit : 1 1 2 2 ' 2 2 ' 2H(s ) sH (s ) G(s ) sG (s )1 2 ' 2F(s ) sF (s )2 (s, , ) (21) En utilisant le Lemme 2, la recherche des valeurs de 1 2( , ) telles que : 1 2H(u) G(u) F(u) a 1r racines réelles, négatives et distinctes, est équivalente à la recherche des valeurs de 1 2( , ) telles que la signature du nouveau polynôme 1 1 2(s, , ) est 12r . Soit 2 ' 2 2 ' 2 1 2 ' 2 1 q (s) H(s ) sH (s ) G(s ) sG (s )1 p (s) F(s ) sF (s ) (22) Il vient : 1 1 2 1 2 1(s, , ) q (s) p (s) (23) En répétant les mêmes étapes dessus, la multiplication de 1 1 2(s, , ) par 1p ( s) donne : 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2H (s ) H (s ) F (s )1 1 2 2 1 2 2s G (s ) sG (s )1 2 (s, , ) (s, , )p (s) (24) avec : ' ' 1H (u) H(u)F(u) uH (u)F (u) ' ' 2H (u) G(u)F(u) uG (u)F (u) ' ' 1 ' ' 2 2 '2 1 G (u) H (u)F(u) H(u)F (u) G (u) G (u)F(u) G(u)F (u) F (u) F (u) uF (u) (25) Nous remarquons qu’un seul paramètre 1 apparaît dans la partie impaire 1 1 2G (u) G (u) de 1 1 2(s, , ) . En utilisant maintenant la condition nécessaire donnée dans la remarque 1, les valeurs de 1 recherchées sont celles qui conduisent à 2r racines réelles négatives et distinctes de : 1 1 2G (u) G (u) , 1 1 2 2r (p ) 1 r 2 ; ce qui est équivalent, selon le lemme 2, à trouver les valeurs de 1 telles que la signature de : 2 1 2 1 2(s, ) q (s) p (s) (26) soit égale à 22r , avec : 2 ' 2 2 1 1 2 ' 2 2 2 2 q (s) G (s ) sG (s ) p (s) G (s ) sG (s ) (27) C. C. Méthode proposée pour la détermination des régions de stabilité dans le plan 2 3( , ) Le polynôme caractéristique en boucle fermée est donnée par Ls 1 2 3(s) (s )q(s) ( s )p(s)e (28) Une fois les valeurs de 1 fixées par la procédure précédente, la méthode de D-partition est utilisée pour déterminer les régions de stabilité dans le plan des paramètres ( 2 , 3 ). La méthode de D-partition est basée sur le fait que les racines d’un quasi-polynôme changent d’une façon continu lorsque les coefficients du quasi-polynôme varient. Un quasi- polynôme stable devient donc instable si et seulement si au moins une de ces racines passe par l’axe des imaginaires. L’application de la méthode de D-partition permet de diviser le plan 2 3( , ) en plusieurs régions, dans chaque région le polynôme (s) a le même nombre des racines dans le demi- plan gauche. La stabilité peut être, ainsi, vérifiée en choisissant un point à l’intérieur d’une région et en appliquant l’une des méthodes classiques comme le critère de Nyquist, par exemple. L’évaluation du polynôme caractéristique sur l’axe des imaginaires est équivalente à remplacer s par j , 0 , dans (28) : I ( ) R ( ) (R ( )sin(L )q 1 q 2 p I ( )cos(L )) (R ( )cos(L ) I ( )sin(L ))p 3 p p (j ) R ( ) I ( ) (R ( )cos(L )q 1 q 2 p j I ( )sin(L )) (I ( )cos(L ) R ( )sin(L ))p 3 p p (29) avec : q qq(j ) R ( ) jI ( ) et p pp(j ) R ( ) jI ( ) (30) Trois cas se présentent. Cas 1. 0 est relatif à une racine qui passe par l’axe des réelles. Il vient l’expression de 3 en fonction de 1 : 0 3 1 0 a b (31) Cas 2. correspond aux racines qui quittent le demi- plan gauche (sinon le demi-plan droit) à l’infini. Puisque Ls e n’a pas des racines finies, considérons le quasi-polynôme * (s) suivant [14] : * Ls Ls 1 2 3 (s) (s)e (s )q(s)e ( s )p(s) (32) Ce quasi-polynôme possède des racines retardées qui appartiennent à la partie gauche du plan et qui n’affectent pas les propriétés de stabilité. Cas 3. 0 est relatif au cas d’une paire de racines (complexes conjuguées) traversant l’axe imaginaire. En égalisant la partie réelle et la partie imaginaire de l’équation (29) à zéro, nous obtenons le système d’équations (32), exprimé sous forme de matricielle : I ( ) R ( )q q12A( ) R ( ) I ( )q q3 1 (33) la matrice A( ) étant : p p p p p p p p (R ( ) sin(L ) I ( ) cos(L )) (R ( ) cos(L ) I ( ) sin(L )) (R ( ) cos(L ) I ( ) sin(L )) (I ( ) cos(L ) R ( ) sin(L )) A( ) (34) de déterminant det(.) défini par : 2 2(R ( ) I ( ) 4R ( )I ( )p p p pdet(A( )) cos(L )sin(L )) (35) Le couple 2 3( , ) peut être ainsi déterminé, pour une valeur fixée de 1 , par les relations (36) suivantes : (I ( )cos(L ) R ( )sin(L )).( I ( ) R ( ))1 p p q q1 2 det( ) (I ( )sin(L ) R ( )cos(L ))( R ( ) I ( ))p p q q1 (I ( )sin(L ) R ( )cos(L ))( I ( ) R ( ))1 p p q q1 3 det( ) (I ( )cos(L ) R ( )sin(L ))( R ( ) I ( )p p q q1 ) (36) En variant la valeur de , 0 , le plan 2 3( , ) peut être décomposé en régions avec le même nombre de racines de (28) dans le demi-plan complexe gauche. IV. EXEMPLE D’APPLICATION Considérons la stabilisation par un régulateur de premier ordre du système à retard suivant : 0.25s 3 2 s 3 G(s) e s 2s 3s 5 En premier lieu, le retard est remplacé par une approximation de Padé et les valeurs admissibles de 1 sont calculées. Le problème auxiliaire à résoudre est la stabilisation du nouveau polynôme donné par : 1 1 2 6 5 4 3 2(s 3s 153s 360s 815s 815s 960) 4 3 2(21s 42s 478s 478s 1136)1 4 3 2(s 2s 73s 73s 576)1 (s, , ) La solution à ce problème est obtenue par l’utilisation de la méthode de D-partition. La figure 1 montre la région de stabilité de 1 2( , ) . En fixant 1 1 et en utilisant la méthode décrite dans la section III.C, nous avons trouvé la région de stabilité, dans le plan 2 3( , ) , donnée dans la figure 2. Finalement, la figure 3 présente les régions de stabilité en 3D pour : = 1,2,3,4 et 51 . Figure 1. Région de stabilité dans le plan 1 2( , ) Figure 2. Région de stabilité dans le plan 2 3( , ) , pour : 11 Figure 3. Régions de stabilité en 3D pour α1 = 1,2,3,4 et 5 I. CONCLUSION Dans cet article, la méthode proposée pour la stabilisation d’un système à retard par un contrôleur du premier ordre, caractérisé par trois paramètres 2 3, et 1 , utilise la méthode de D-partition. Elle a permis de déterminer les régions de stabilité dans le plan des paramètres 2 3et , le troisième paramètre, α1, étant fixé apriori en rapport avec une condition nécessaire. Les résultats obtenus peuvent être améliorés dans le sens de la robustesse vis-à-vis de la propriété de stabilité, en imposant des spécifications supplémentaires sur la marge de gain et la marge de phase. REFERENCES [1] Q.C. Zhong, Robust control of time delay systems, Springer, London, 2006. [2] G.J. Silva, A. Datta and S.P. Bhattacharyya,“PI stabilization of first- order systems with time delay”, Automatica, vol. 37, pp. 2025-2031, 2001. [3] G.J. Silva, A. Datta and S.P. 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