Synthèse de lois de commande d’un robot de type char

18/04/2015
Auteurs : Inès Mahmoud
Publication e-STA e-STA 2014-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2014-2:13315
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Résumé

Synthèse de lois de commande d’un robot de type char

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	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
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 Abstract— Dans ce papier, est mis l'accent sur la synthèse de lois de commande d type char. En effet, après la modélisation l’outil de linéarisation exacte qui conduit à un système découplé, facile à commander, est utilisé. La mise en œuvre d’un régulateur par réaction d’état a permis d’obtenir des performances satisfaisantes et la comparaison suite à l'application de deux lois de commande de types PI et PID a donné de bons résultats. I. INTRODUCTION Durant les dernières années, l'utilisation des robots mobiles a connu une importance croissante dans divers domaines [1]. Les aptitudes recherchées pour ces robots mobiles dans les différentes applications sont surtout la précision et la rapidité [1]. Cependant, réaliser une des aptitudes diminue souvent l'autre et la question de commande des robots mobile est de réaliser un bon compromis entre les différentes performances requises [2]. La dynamique, d'un robot mobile à plusieurs liaisons, est en fait caractérisée par un ensemble d'équations différentielles du second ordre, couplées et non linéaires [4]. Ces équations sont en général entachées d'incertitudes sur les paramètres décrivant les propriétés dynamiques de l'ensemble charge-corps terminal [5]. La complexité de cette dynamique va amplifier le problème du compromis entre les différentes performances. Pour traiter ce problème, plusieurs approches de commandes ont été considérées. En particulier, les propriétés de non holonomie ont conduit à l’utilisation de techniques de commande fortement non linéaires [6]. Classiquement la recherche de lois de commande pour la navigation des robots mobiles se répartit en trois sous-problèmes [3] tels que la stabilisation en un point [4], le suivi de trajectoire [7] et le suivi de chemin [7]. Les méthodes conventionnelles existantes font intervenir diverses approches essentiellement basées sur l’analyse mathématique des systèmes à commander [8]. Parmi les techniques de base utilisées pour la commande de processus, on distingue principalement la commande par régulateur de type PD et de type PID et la commande par retour d’état, la commande adaptative, la commande non linéaire [8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]. Les commande non conventionnelles sont des stratégies de commande dites intelligentes, basées sur des approches heuristiques en rapport avec le concept générique d’intelligence artificielle donnent des résultats intéressants. Les méthodes de commande intelligentes déjà implémentées font appel à la logique floue, aux réseaux de neurones, aux systèmes experts et aux algorithmes génétiques [9,18,19,29,21,22,23]. Le travail présenté dans ce mémoire concerne l’étude de la navigation d’un robot mobile non-holonome, intrinsèquement non linéaire de type CHAR, capable de procurer une autonomie suffisante afin de lui permette de se déplacer dans un espace libre et non contraint. Ce papier est organisé comme suit. La deuxième section traite le modèle cinématique d'un robot de type CHAR. La troisième présente le principe de la commande linéarisante. La quatrième section étudie la commande stabilisante du modéle linéarisé en utilisant en premier lieu le régulateur proportionnel dérivé et en deuxième lieu le régulateur proportionnel intégrateur dérivé. La conclusion est présentée dans la dernière section. Modèle cinématique d'un robot de type char Le robot char ou le fauteuil roulant [24], figure 1, comprend deux chenilles (ou roues) parallèles motrices commandées par deux moteurs indépendants. Fig.1 Robot étudié dans le plan cartésien Les paramètres v est la vitesse du char,  son orientation, (x, y) les coordonnées de son centre, r le rayon de la roue, D est la distance entre les deux roues motrice du robot et X=[x, y,  , v] est un vecteur état. Les paramètres x, y et θ sont respectivement l’abscisse, l’ordonnée et l’orientation du robot dans le repère défini selon la figure 1. Le robot de type CHAR est régi par les équations d’état suivantes : 1 2 cos sin x v y v u v u           (1) Synthèse de lois de commande d'un robot de type char Mahmoud Inès Laboratoire de Recherche Automatique ENIT, BP 37 le Belvédère, Tunis El Manar 1002, Tunisia Mail : ines.abdellatif.mahmoud@gmail.com u1 et u2 étant les entrées de ce système. Nous envisageons, dans la partie suivante, la synthèse de lois de commande permettant de piloter efficacement un robot mobile de type char. II. PRINCIPE DE LA COMMANDE LINÉARISANTE Considérons le système dynamique suivant : cos sin x v y v      (2) La mise en œuvre d’une méthode de linéarisation consiste à dériver le modèle (2) du robot. Il vient le système d’équations différentielles: cos sin sin cos x v v y v v             (3) qui peut être réécrit de la façon suite : 2 1 2 1 cos sin sin cos x u u v y u u v          (4) ou encore, sous la forme matricielle suivante :     x Y A x u b x y         (5) avec :     1 2 sin cos cos sin 0 v A x v u u u b x                         Pour une commande linéarisante définie par: 1 1 1 2 2 sin cos cos sin u vv u v v                     (6) v1 et v2 étant les nouvelles entrées du systéme commandé, le robot mobile peut être décrit par le systéme d’équations différentielles linéaires suivant: 1 2 vx y v            (7) La linéarisation par bouclage nous ramène ainsi à un système formé par une chaîne d’intégrations découplées de la forme suivante : ( ) n Y V (8) que nous pouvons commander par des techniques classiques de la théorie de la commande linéaire. Le schéma synoptique de ce robot linéarisé est consigné dans la figure 2. III. COMMANDE STABILISANTE DU MODELE LINEARISE DU ROBOT On se propose de stabiliser le robot décrit par l’équation (9) suivante, d’abord par : 1/ Le régulateur de type proportionnel dérivée PD, [19]      ( ) ( ) ( ) 0 1 ... n n n nV w Y w Y w Y w          (9)  P Det étant les coefficients du régulateur à déterminer, w et Y les vecteurs de consigne et de sortie définies respectivement par : r r x w y        ; Le système bouclé correspondant est alors décrit par :        ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1...n n n n nY V w Y w Y w Y w              (10) 0 L’écart entre la consigne et la sortie, noté e, étant donné par la relation :  e w Y (11) 1 2 cos sin x v y v u v u         1 U A x v   , , , T X x y v 1 2 v V v        x Y y        1 2 u U u        Système linéarisé Fig.2 Synoptique du robot mobile linéarisé Il vient l’équation différentielle scalaire de la forme suivante, régissant le système écart correspondant:    1 1 1...n n ne e e e       =0 (12) de polynôme caractéristique P(s) donné par l’expression suivante :   1 1 1 0...nn nP s s s s        (13) Afin de stabiliser le robot mobile, par exemple, il suffit que les racines de P(s) soient toutes à parties réelles négatives. Pour n=2, et la relation (10) devient :    0 1     V w Y w Y w (14) Le choix des pôles du systéme linéarisé asservi, égaux et placés à -3, impose que les paramètres du polynôme caractéristique (13) vérifient la condition suivante :    22 2 1 0 3 6 9P s s s s s s         (15) Par identification, les coefficients du régulateur par réaction d’état sont donc les suivants : 0 1 9 6      (16) Il vient la loi de commande stabilisante du robot mobile :         1 2 9 6 9 6 r r r r r r V x x x x x V y x y y y            (17) ou encore :         1 2 9 6 cos 9 6 sin r r r r r r V x x x v x V y x y v y              (18) Le schéma synoptique de ce robot linéarisé régulé par un PD est présenté dans la figure 3. xposition yposition v u1 u2 u1 u2 Modèle du robot mobile étudié v1 v2 v1 V2 Commande linéarisante Contrôleur PD yr xr xposition yposition  Consignes X Fig.3 Synoptique du robot char linéarisé régulé par un PD La mise en œuvre de cette commande au robot, soumis à la trajectoire de la figure 5, par simulation sur Matlab, figure 4, conduit au résultat consigné dans la figure 6. Fig.4 Schéma de simulation du robot char commandé par un régulateur PD Fig.5 Trajectoire de référence Le contrôleur dérivé (PD) a l'effet d’amélioration de la stabilité du système et la réduction du dépassement et du temps de réponse. Ce régulateur par réaction d’état a ainsi permis d’obtenir des performances satisfaisantes. Fig.6 Résultat de simulation relatif au robot char commandé par un régulateur PD 2/ Le régulateur de type Proportionnel Intégrateur Dérivée (PID), [19] Nous allons rajouter un terme intégral au régulateur PD précédent afin d’améliorer la précision du robot. La commande à appliquer est PID de la forme :           ( 1) ( 1) ( ) 1 0 1 1 0 ... t n n n nV w Y d w Y w Y w Y w                        Le système bouclé correspondant est alors décrit par :             ( 1) ( 1) ( ) 1 0 1 1 0 ... t n n n n nY w Y d w Y w Y w Y w                        La dérivation de l’écart a conduit à l’équation différentielle suivante :    1 1 1 0 1... 0n n ne e e e e           qui a pour polynôme caractéristique P( s) défini par:   1 2 1 1 0 1...nn nP s s s s s           (19) Comme pour le cas précédent comme nous imposons que les racines de P(s) soient toutes à parties réelles négatives. Le choix des pôles du système linéarisé asservi, égaux et placés à -3, impose que les paramètres du polynôme caractéristique (20) vérifient la condition suivante :    33 2 3 2 1 0 1 3 9 27 27P s s s s s s s s            (20) Par identification, les coefficients du régulateur par réaction d’état sont donc les suivants : 1 0 1 27 27 9          (21) Il vient la nouvelle loi de commande du robot mobile :             1 0 2 0 27 27 9 27 27 9 t r r r r t r r r r V x x dt x x x x x V y y dt y y y y y                      (22) ou encore :             1 0 2 0 27 27 9 cos 27 27 9 sin t r r r r t r r r r V x x dt x x x v x V y y dt y y y v y                        (23) Le schéma synoptique de ce robot linéarisé régulé par un PID est présenté dans la figure 7. xposition yposition v u1 u2 u1 u2 Modèle du robot mobile étudié v1 v2 v1 V2 Commande linéarisante Contrôleur PID yr xr xposition yposition  Consignes X Fig.7 Synoptique du robot Char linéarisé régulé par un PID La mise en œuvre de cette commande par simulation sur Matlab, figure 8, pour la même trajectoire de référence, conduit au résultat consigné dans la figure 9. Fig.8 Schéma de simulation du robot char commandé par un régulateur PID Pour la trajectoire de référence et pour une condition initiale identique à celle utilisée pour le robot commandé par un régulateur PD, le robot rejoint directement la trajectoire de référence avec de très bonnes performances en rapidité, en temps de réponse et en précision. Fig.9 Suivi de la trajectoire de référence IV. CONCLUSION Après la modélisation d’un robot mobile de type char, nous avons utilisé l’outil de linéarisation exacte qui nous a conduit à un système découplé facile à commander. La mise en œuvre d’un régulateur par réaction d’état a permis d’obtenir des performances satisfaisantes. Notre contribution dans ce papier consiste en l’élaboration de commandes d’un robot mobile de type char assurant le suivi d’une trajectoire bien spécifique dans un environnement libre et la comparaison suite à la mise en œuvre de deux lois de commande de types PI et PID. Nous avons mis en évidence dans un premier temps les équations qui décrivent les comportements géométriques, cinématiques et dynamiques du robot mobile de type char. La présence des contraintes de la non-holonomie nous ont amené à chercher des trajectoires satisfaisantes certaines conditions. Le caractère fondamentalement non-linéaire des systèmes traités a nécessité le recours à la technique de linéarisation exacte qui a conduit à un système linéaire facile à commander par des commandes classiques. Les résultats de mise en œuvre de différents types de régulateurs classiques : PD et PID au robot linéarisé ont été comparés et ont mis en exergue les bonnes performances obtenues pour le régulateur PID. Il est intéressant de poursuivre nos travaux dans le sens leur exploitation pour la commande des robots mobiles se mouvant dans un environnement restreint tout en résolvant le problème d’évitement d’obstacles et d’implémenter les algorithmes de commande élaborées en pratique. REFERENCES [1] AIDER O. "Localisation référencée d’un robot mobile d’intérieur". Thèse de Doctorat, Université D’Evry-Val D’Essonne, 2002. [2] ASTROM K.J. and WITTENMARK B. "Adaptive control", Addison Wesley, United States, 1989. [3] AYARI I. "Approches neuronales pour la commande et la navigation réactive de robots autonomes", Thèse de Doctorat, Ecole Centrale de Lille, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis 2002. [4] SOUERES P. "Commande optimale et robots mobiles non holonome", Thèse de Doctorat, Universités Paul Sabatier de Toulouse, 1993. [5] BANDEMER H. and GOTTWALD S. "Fuzzy sets, fuzzy logic, fuzzy methods with applications", John Wiley & Sons, Grande-Bretagne, 1996. [6] BAYLE B. "Robotique mobile", Technical report, Ecole Nationale Sup´erieure de physique de starsbourg, 2010-2001. [7] GUECHI E.H. "Suivi de trajectoires d’un robot mobile non holonome : approche par modèle flou de Takagi-Sugeno et prise en compte des retards", Thèse de Doctorat, Universités de Valenciennes et du Hainaut, 2010. [8] NACEUR M. "Sur la commande par modèle interne de systèmes dynamiques continus et échantillonnés", Thèse de Doctorat, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, 2008. [9] BEN SAAD K. "Modélisation et commande d’un moteur pas à pas tubulaire à réluctance variable et à quatre phases. Approches conventionnelles, par logique flou, et par réseaux de neurones artificiels", Thèse de Doctorat, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, Ecole Centrale de Lille, 2005. [10] BORNE P., BENREJEB M. , HAGGEGE J. "Les réseaux de neurones artificiels. Présentation et application", Ed.Technip, Paris, 2007. [11] BORNE P., DAUPHIN-TANGUY G., ROTELLA J.P. and ZAMBETAKIS I. "Commande et Optimisation des Processus", Technip, Paris, France, 1990. [12] BOUCHON-MEUNIER B. "La logique floue et ses applications", ED Addison-Wesley, France, 1995. [13] BROCKETT R.W. "Asymptotic stability and feedback satabilisation. Differential Geometric Control Theory, 1983. [14] BUHLER H. "Réglage par logique floue", Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, Suisse, 1994. [15] FOSSARD A. J. "La régulation industrielle : régulateur PID, prédictifs et flous", Hermès, Paris, France, 1994. [16] FUKUDA T. "Theory and applications of neural networks for industrial control systems", IEEE Transactions on Ind. Electronics, vol. 36, No 6, pp. 472-489, 1992. [17] GHODBANE H. "Navigation d’un robot mobile avec évitement d’obstacles par logique floue", Thèse de Magister en Electronique, Université d’Annaba, 2000. [18] HUNT K. J., SBARBARO D., ZBIKOWSKI R. and GAWTHROP P.J. "Neural networks for control systems - A survey", Automatica, Vol.28, no.6, pp.1083-1112, 1992. [19] JAULIN L. "Représentation d’état pour la modélisation et la commande des systèmes", Hermès, 2005. [20] JOACHIM H. "Contribution au pilotage et à la localisation d’un robot mobile", Thése de Doctorat, Institut National Polytechnique de Lorraine, 1997. [21] LANDAU I.D., LOZANO R. and M’SAAD M. "Adaptive control", Springer Verlag, Londre, Grande Bretagne, 1998. [22] ROTELLA F. "Commande des systèmes linéaires à plusieurs entrées", Notes de cours, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes, 2002. [23] ROUFF M. "Computation of feedback laws for static linearisation of non linear dynamical systems". Mechatronic, 1992. [24] Z.GHANIA, "Execution de trajectoire pour robot mobile d’interieur- Réseaux de neuronne", Thesis, University of Batna Faculty of Engineering Sciences, Algeria 2009.