Détermination d’attracteurs emboîtés pour les systèmes non linéaires

18/04/2015
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Publication e-STA e-STA 2014-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2014-2:13314
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Détermination d’attracteurs emboîtés pour les systèmes non linéaires

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Détermination d’attracteurs emboîtés pour les systèmes non linéaires perturbés Amira Gharbi1,2 Mohamed Benrejeb1 Pierre Borne2 1 Laboratoire de Recherche en Automatique, LARA Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis BP 37 Le Belvédère 1002 Tunis, Tunisie. 2 Laboratoire Automatique Génie Informatique et traitement du Signal, LAGIS Ecole Centrale de Lille. Cité scientifique BP 48-59651 Villeneuve d'Ascq Cedex, France Email: merkarim@gmail.com, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn, pierre.borne@ec-lille.fr Résumé— Cet article présente la détermination de systèmes de comparaison et d’attracteurs de processus perturbés et/ou incertains exploitant les techniques d’agrégation. Elle s’effectue à partir d’une représentation sous forme en flèche de la matrice caractéristique de l’évolution du processus linéarisé localement. Cette approche est particulièrement intéressante lorsque le processus linéarisé n’est pas diagonalisable ou admet des valeurs propres complexes au point de fonctionnement considéré. Mots clés— Systemes non linéaires, Attracteurs, technique d’agrégation, norme vectorielle, matrice de forme en fléche I. INTRODUCTION L’application directe des techniques d’agrégation pour étudier la stabilité d’un processus ne permet pas toujours de conclure, et il en est de même pour la recherche des attracteurs pour des processus soumis à des perturbations. L’approche la plus courante consiste, dans ce cas, à faire un changement de base qui diagonalise le linéarisé du système au voisinage de l’origine, le système initial restant alors généralement diagonal dominant au voisinage de l’origine. Lorsque le linéarisé n’est pas diagonalisable ou possède des valeurs propres complexes, cette approche n’est plus valable. Une solution consiste alors à appliquer au processus le changement de base qui met la matrice du linéarisé sous forme en flèche. La représentation sous la forme en flèche des matrices caractéristiques de l’évolution des processus, s’avère particulièrement efficace pour l’analyse et la synthèse des systèmes.[1-3] Dans un premier temps, la matrice caractéristique de l’évolution du processus linéarisé est mise sous forme en flèche et le changement de base correspondant appliqué au système initial. L’étude de la stabilité et la détermination d’un attracteur [7], [10-12], majorant l’erreur du comportement du processus perturbé, sont alors réalisées en utilisant les techniques d’agrégation [4], [6], [9] et la détermination d’un système de comparaison du système initial tel que sa matrice caractéristique instantanée soit l’opposée d’une M-matrice [5], [ 8]. Dans la section 2, nous allons présenter la méthode proposée et l’intérêt de la mise en forme en flèche de la matrice caractéristique pour notre étude ; ensuite, nous allons étudier la stabilité et déterminer un attracteur en utilisant les techniques d’agrégation, dans la section 3. L’application à un processus non linéaire perturbé est présentée dans la section 4 pour illustrer la méthode proposée. II. METHODE PROPOSEE On considère le processus (S) dont l’évolution est régie par le système d’équations différentielles suivant : ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ,.)x t A x t t x t B x t t= +ɺ (1) Le vecteur état x(t) évolue dans un domaine n D ⊂ ℝ , A(x(t),t) est une matrice de dimension n×n caractérisant l’évolution du processus et B(x(t),t,.) un vecteur de dimension n représentant l’effet des perturbations et incertitudes, caractérisé principalement par son domaine d’évolution. Pour déterminer l’attracteur pour ce système non linéaire, nous proposons de passer, tout d’abord, par la représentation du système au point de fonctionnement par la forme Compagnon, et ensuite, par une matrice caractéristique de forme en flèche (Annexe A). Au point de fonctionnement x0 du système linéarisé (S’) de (S), il s’agit de déterminer le changement de variables permettant d’obtenir une représentation du système (S’) sous forme commandable. Après la mise en forme en flèche de la matrice caractéristique correspondante, nous envisageons d’étudier sa stabilité et de déterminer l’attracteur en utilisant les techniques d’agrégation, tout en élaborant un système de comparaison tel que sa matrice caractéristique instantanée soit l’opposée d’une M-matrice. III. DETERMINATION DE L’ATTRACTEUR On considère le processus (S) dont l’évolution est régie par le système d’équations différentielles (2) avec la notation simplifiée suivante : (.) (.)x A x B= +ɺ (2) Lorsque l’application directe des techniques d'agrégation ne permet ni de conclure relativement à la stabilité du processus, ni de déterminer un attracteur, lorsque la stabilité locale n’est pas vérifiable un changement de base intéressant correspond à celui mettant la matrice du linéarisé local sous forme diagonale. Lorsque le linéarisé local n’est pas diagonalisable sur le corps des réels, il convient de le mettre sous forme en flèche à partir du changement de base fP , défini en Annexe A. Il vient : (.) (.)f f f fx A x B= +ɺ (3) avec : { }, (.) (.)i jf fA a= (4) Il s’agit d’abord déterminer un système de comparaison tel que sa matrice caractéristique instantanée soit l’opposée d’une M-matrice. Pour une norme vectorielle ( )p x définie par : 1 2( ) , , , T np x x x x =  … (5) il vient le système de comparaison suivant : / ( ) (.) ( ) (.)n f f f f fz z t M z t N∈ = +ɺℝ (6) avec la matrice { },(.) (.)f i jM m= telle que: (7) et le vecteur (.)fN défini à partir de (.)fB par : (.)= (.)f fN B (8) D’ou un système de comparaison linéaire de la forme : / ( ) ( )n f f f fz z t M z t N∈ = +ɺℝ (9) avec fM et fN des matrices à éléments constants. avec : { } { } { } { } , , ,; max (.) ; max (.) f i j i j i j f i i i M m m m N n n n = = = = (10) Si fM est l’opposée d’une M-matrice, alors il existe un attracteur 1fD asymptotiquement stable tel que : { }1 1 ; ( )n f f fD x R p x M N− = ∈ ≤ − (11) avec : ( ) ( ( ))f fz t p x t≥ (12) ∀t∈ τ0 0 ;t= +∞   ; pour t = t0, on a : 0 1 1 lim ( ) lim ( )f f f f f f t t t z t M N p x M N− − → →+∞ = − ⇒ ≤ − (13) Le changement de base inverse permet de définir l’attracteur dans la représentation initiale. Il vient : 1 1 lim ( )f f f t p P x M N− − →+∞ ≤ − (14) Le calcul d’un nouveau système de comparaison défini dans 1fD permet alors d’affiner la détermination de l’attracteur et d’obtenir 2 1f fD D⊂ . IV. EXEMPLE D’APPLICATION On considère le processus (S) dont l’évolution est régie par le système d’équations différentielles (2), x(t) étant un vecteur du domaine D avec n D = ℝ , A(.) une matrice n×n et B(.) un vecteur d’ordre n à éléments non linéaires. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (.) a a a A a a a a a a     =      avec: 11 1 2 1 12 1 1 1395 1 847 cos cos cos sin 4 514 2 514 346 60 cos cos sin 257 257 a x x t x a x t x   = − − −      = −    13 1 1 9 257cos cos sin 257 a x t x   = − −    , , , , (.) (.) 1,2, (.) (.) i i i j i i f i j f m a i n m a i j = ∀ =   = ∀ ≠ … 22 2 32 1 2 2 21 1 2 1 2 1 1 48203 1395 43 cos 24 1542 2056 6 111233 79 59985 847 cos cos sin sin 3084 12 2056 1542 66913 26287 cos sin 3084 3084 xx x e e x e a x x x x t x −− −  − − −     = + − − −      − +    2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 1 2 2 1 1 23 2 1 6149 173 13667 7439 cos cos sin 771 514 771 514 20 790 855 sin cos sin 257 257 257 860 129 5547 cos 6.6089cos sin 257 1028 1028 3 237 129 sin cos sin 257 514 514 x x e x x x a x t x e x x x a x t x − −   − − + −  =    + + −      + − +  =  − − −   22 2 32 1 2 1 2 2 31 1 2 1 2 1 2 2 32 5 193933 2325 173 cos 18 2313 514 9 1043095 733 80445 8470 cos cos sin sin 9252 36 1028 2313 620851 65386 cos sin 9252 2313 49478 1730 126809 cos 2313 771 xx x x e e x e a x x x x t x e x a −− − −      − − −     = + − − −      − +    − − + = 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 33 2 1 29929 cos sin 2313 771 400 7330 3460 sin cos sin 771 771 771 6920 215 31519 7439 cos cos sin 771 257 1542 514 20 733 1458 sin cos sin 257 514 257 x x x x t x e x x x a x t x −   −     + + +      + − +  =    − − −    (15) et : 2 3 2 3 2 1 2 1 2 27 sin sin 100 3 129 711 9 ( ( )) sin sin sin 25 20 200 50 4 173 2199 6 sin sin sin 5 10 200 5 x x t x B x t e x t x e x t x − −        = + + +      + + +    (16) A. Détermination directe de domaine d’attraction par les techniques d’agrégation Pour la norme vectorielle, 1 2 3( ) , , T p x x x x =   (Annexe B), il vient le système de comparaison suivant : / ( ) (.) ( ) (.)n z z t M z t N∈ = +ɺℝ (17) avec : ( ) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ( ( )) a a a M A x a a a a a t a     =       2 3 2 3 2 1 2 1 2 27 sin sin 100 3 129 711 9 ( ( )) sin sin sin 25 20 200 50 4 173 2199 6 sin sin sin 5 1 ( 0 200 5 x x t x B x t e t x t N x e x x − −         = + + +       + + +    (18) Il en résulte, par majoration, le système de comparaison à coefficients constants : z Mz N= +ɺ -8.8619 1.5798 0.537 0.27 124.6543 -46.9896 15.6984 10.305 361.4455 122.8163 -42.9267 30.29 z 5 z        = +          ɺ (19) les conditions de stabilité de la matrice M s’écrivent : ( ) 3 8.8619 0 ( 8.8619 46.9896)- 1.5798 124.6543 0 ( 1) det( ) 0M −  − ×− ×  − ≺ ≻ ≻ (20) 3 or: ( 1) det( ) 0M− ≺ donc M n’est pas l’opposée d’une M-matrice et on ne peut donc pas conclure à l’existence d’un attracteur directement par les techniques d’agrégation. B. Détermination de l’attracteur 1fD en utilisant une représentation en flèche à l’origine Cette détermination passe par les étapes suivantes : • Etape 1 : Linéarisation au point de fonctionnement 0 0x = On a : 0 1.3463 0.5019 1.0554 3.3 1.7860 881 13. 6. 33 0875 79 35.6770 16.3016 A − − − −   = − −   −  et 0 0 0.3 2 B    =      (21) 0 3 2 1 1 1 12 48 63 3 3 ( 3)( 4.5 )( 4.5 ) 2 det ( ) 2 i i I A + + + = + + + + − − = λ λ λ λ λ λ λ Les racines de 0det ( ) 0I Aλ − = étant complexes, la matrice 0A ne peut être diagonalisée sur le corps des réels. • Etape 2: Représentation de la matrice du linéarisé non perturbé sous forme compagne. Il vient : 1 0 0 1 0 0 0 1 63 48 12 c c cA P A P−        − − −  = == (22) et: 1 0c cB P B− = (23) 1 2 3 1 0.4 0 0.2 1 0.3 0 0 2 , ,cP P P P    − −   = =      (24) • Etape 3: Représentation du système sous forme en flèche A partir du couple ( , )c cA B , on peut mettre le système sous la forme en flèche avec : ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 12 2 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 ; 0 1 1 cf cfP P α α α α α α α α α α α α α α α α α α −    − −          − −    − =   −   = + −   (25) et prendre pour 1α et 2α les parties réelles suivantes des valeurs propres des racines de 0det ( ) 0I Aλ − = 1 2 3 4.5 α α = −  = − (26) Il vient : 1 1 0 3 4.5 0 9 20.25 1 cfP   = − −     (27) et : 0 0.9 6.45 11.85 0.3 17.3 36.65 0 2 fP      =    (28) • Etape 4: Conditionnement de la représentation du système initial Le système initial, auquel nous allons appliquer les changements de base rendant la matrice caractéristique du système linéaire sous forme en flèche, a pour matrices caractéristiques instantanées : 22 2 31 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 4 1 sin 0.6667 (.) sin cos 4 0.5cos 0.6667cos sin cos 0.125 5 0.5cos xx x f x e e x e A x t x x x x e x −− − −  − + − +   = − − −    + − +   (29) et : 2 1 1 2 sin (.) 0.3sin sin 0.6 0.4 f x x B x t e−     =     +   (30) • Etape 5 : Etude de stabilité du système en appliquant les techniques d'agrégation et détermination de l’attracteur 1fD Pour la norme vectorielle 1 2 3( ) , , =   T f f f fp x x x x , on peut définir un système de comparaison de la forme (9), avec fM la matrice obtenue en remplaçant dans (.)fA les éléments hors diagonaux par les maximums de leurs valeurs absolues et les éléments diagonaux par leurs maximums 1 5 3 1 3 2 1 3.5 3 1 1.125 4.5 ( (.))f fM M A   −     −     −     = = (31) les conditions de stabilité de la matrice 1fM s’écrivent : ( ) ( ) ( ) 1 3 3 0 3 3.5 1 0 1 det( ) 0fM  −  − × − −  − ≺ ≻ ≻ ( )1 2 1 1 2 sin (.) (.) 0.3sin sin 0.6 0.4 f f x x N N B x t e−       = =     +    (32) d’où : 1 1 0.3 1 fN    =      (33) Pour le système de comparaison défini par (9), il vient : 11 1 1 0.7288 ( ) 0.3855 0.4805 ff fp P x M N− −    ≤ − =      (34) L’attracteur 1fD est délimité par les inégalités suivantes : 1 2 3 1 1 2 3 -1.831 0.2594 -0.0389 0.7288 0.347 4.5233 -2.2438 +0.8366 0.4805 x x x x x x x  + ≤  ≤  − ≤ (35) • Etape 6 : Détermination d’un nouvel attracteur 2fD Une nouvelle représentation du système (S) peut être définie, dans 1fD , par une description de la forme (3). Pour, 1 0.347x ≺ on a : 22 2 31 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 4 1 sin 0.6667 (.) sin cos 4 0.5cos 0.6667cos sin cos 0.125 5 0.5cos xx x f x e e x e A x t x x x x e x −− − −  − + − +   = − − −    + − +   (36) et 2 1 1 2 sin (.) 0.3sin sin 0.6 0.4 f x x B x t e−     =     +   (37) Le nouveau système de comparaison est caractérisé par le doublet 2 2 ( , )f fM N suivant à éléments linéaires: 2 3.1134 0.9312 0.3401 3.5 0.627 1.0654 4.5 1 1 fM    =      − − − (38) et : 2 0.3401 0.3 0.9546 fN    =      (39) et décrit sous la forme : 3.1134 0.9312 0.3401 0.3401 0.627 0.3 1.0654 4 1 . z 35 z 1 5 0.9546        = − +        − −   ɺ (40) il vient : 3 1 2 0.2545 0.1656 0.3079 z∞          = ≥            f f f x x x (41) et l’attracteur 2fD est délimité par les inégalités suivantes : 1 2 3 1 1 2 3 -1.831 0.2594 -0.0389 0.2545 0.1490 4.5233 -2.2438 +0.8366 0.3079 x x x x x x x  + ≤  ≤  − ≤ (41) • Etape 7 : Résultats par simulation La figure suivante présente l’évolution de l’état du système vers les domaines d’attraction emboîtés 1fD et 2fD . −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −1 0 1 2 3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x 3 x 1 x2 D f 2 D f 1 Fig.1 : Evolution de l’état du système vers les domaines d’attraction emboîtés 1fD et 2fD . V. CONCLUSION Le concept de norme vectorielle, associé à la définition de systèmes de comparaison définis par l'approche de la stabilité de Borne et Gentina, avec une modélisation utilisant la forme en flèche de Benrejeb a été utilisé dans ce travail, avec succès, pour déterminer différents attracteurs imbriqués. VI. ANNEXE A. Passage à la forme en flèche Soit le système linéarisé (S’) défini autour du point de fonctionnement 0x par : (S’) : 0 0x A x B= +ɺ (42) Notons Pc la matrice de changement de base telle que : c cx P x= (43) permet d’obtenir une représentation de la partie non perturbée du système décrit par l’équation de (S’) sous forme compagnon, cx représentant le vecteur état du processus dans la nouvelle base. Il vient : c c c cx A x B= +ɺ (44) Notons par Pcf la matrice ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 . 0 1 n cf n n n n n n n n P α α α α α α α α α − − − − − − − − −        =          ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ (45) permettant le passage de la forme compagne à la forme en flèche telle que : 1 f cf c cfA P A P− = (46) 1 1 2 2 1 1 ,1 ,2 , 1 , n n i i f i n i n A α β α β α β γ γ γ γ − − −        =         ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … (47) Appliquons maintenant les changements de base trouvés au système non linéaire : f fx P x= (48) avec : ( ) 11 cf cfP = P P −− et cf cfP = P P (49) 1 (.) (.)f ffA P A P− = (50) et : 1 (.) ffB P B(.)− = (51) Il vient : (.) (.)f f f fx A x B= +ɺ (52) B. Définition des normes vectorielles Soit n R un espace vectoriel et soit in R un sous -espace de n R , 1,2, ,i k∀ = … , tels que : , , 1,2, ,inn ix R x R i k∈ ∈ ∀ = … alors on a : 1 2[ ]T T T T kx x x x= ⋯ (53) Soit (.)ip une norme scalaire sur in R ; (.)p est alors une norme vectorielle sur n R définie par le vecteur suivant : 1 1 2 2( ) [ ( ) ( ) ( )]T k kp x p x p x p x= ⋯ (54) La norme vectorielle ( )p x vérifie les conditions suivantes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 0, E 1,2, ,k 0 0, 1,2, ,k , , E 1,2, ,k , 1,2, ,k, i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p x x i p x x i p x y p x p y x y i p x p x x i R          ≥ ∀ ∈ ∀ = … = ↔ = ∀ = … + ≤ + ∀ ∈ ∀ = … = ∀ ∀ = … ∀ ∪λ λ λ (55) C. Systèmes majorants Considérons le système continu non linéaire défini dans l’espace d’état par : ( ) (.) ( )x t A x t=ɺ (56) A(.) étant une matrice de dimension, n × n , à éléments non constants, { }(.) (.)ijA a= et x le vecteur d’état, 1 2[ ]T T T T kx x x x= ⋯ , n x R∀ ∈ Soit la matrice majorante ( (.))M A définie par : { }( (.)) (.)ijM A m= (57) avec : (58) Si cette matrice a ses éléments non constants isolés dans une seule ligne ou une seule colonne, l’application du lemme de Kotelyanski à cette matrice permet de conclure à la stabilité de ce système critère de Borne et Gentina. Ce critère, utilisant les techniques d’agrégation, adaptées à l’étude des systèmes de grande dimension, est basé sur le choix d’une norme vectorielle p(x) telle que par exemple : 1 2( ) [ ]T np x x x x= ⋯ (59) En pratique, ce critère est vérifié si les n inégalités suivantes sont satisfaites : , , , , (.) (.) 1,2, (.) (.) i i i j i i i j m a i n m a i j = ∀ =   = ∀ ≠ … 1,1 1,2 1, 1,1 1,2 2,1 2,2 2, 1,1 2,1 2,2 ,1 ,2 , 0, 0, ,( 1) 0 n nn n n k n m m m m m m m m m m m m m m − ⋯ ⋯ ≺ ≻ … ≻ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ (60) RÉFÉRENCES [1] M. Benrejeb. « Stability Study of Two Level Hierarchical Nonlinear Systems». Plenary lecture 12th IFAC Symposium on Large Scale Systems: Theory And Applications, Lille, Juillet 2010. [2] M. Benrejeb, P. Borne et F. Laurent. « Sur une application de la représentation en flèche à l’analyse des processus ». RAIRO Automatique/Systems Analysis and Control, vol. 16, pp. 133-146,1982. [3] M. Benrejeb, M. Gasmi « On the use of an arrow form matrix for modeling and stability analysis of singularly perturbed non-linear systems», Systems Analysis Modeling Simulation 40 (4), 509, 2001. [4] P. Borne « Nonlinear system stability. Vector norm approach, System and Control Encyclopedia», Pergamon Press, Lille, France, 5, pp .3402-3406, 1987. [5] P. Borne, M. Benrejeb, « On the representation and the stability study of large scale systems», International Journal of Computers Communications and Control, vol. 3(Issue 5), pp.55-66, 2008. [6] P. Borne, J.P. Richard, N.E. Radhy. « Stability, stabilization, regulation using vector norms, Nonlinear Systems, 2, Stability and Stabilization», Chapman & Hall, Chapter 2, pp. 45-90, 1996. [7] P. Borne, J.P. Richard, M. Tahiri, «Estimation of attractive domains for locally stable or unstable systems», Systems Analysis Modeling and Simulation, Vol. 7(Issue 8), pp. 595-610,1990. [8] J.C. Gentina et P. Borne. « Sur une condition d’application du critère de stabilité linéaire à certaines classes de systèmes continus non linéaires ». CRAS, Paris, T. 275, pp. 401-404, 1972. [9] J.C. Gentina, P. Borne, C. Burgat, J. Bernousou, L.T. Grujic« Sur la stabilité des systèmes de grande dimension. Normes vectorielles », RAIRO, volume 13, 1, pp. 57-75, 1979. [10] A. Gharbi, C Petrescu, M. Benrejeb, P. Borne. « New Approach for the Determination of Attractors for Nonlinear Systems », 2nd International Conference on Systems and Computer Science (ICSCS) Villeneuve d'Ascq, August 26-27, 2013 [11] A. Gharbi, M. Benrejeb and P. Borne. « On nested attractors of complex continuous systems determination » , Proceedings of the Romanian Academy, Series A, 14 (2), pp. 259–265, 2013. [12] E. Kaslik, , A.M. Balint, and St. Balint, « Methods for Determination and Approximation of the Domain of Attraction». Research Report.2004.