Domaine de stabilité indépendante du retard d'un système linéaire à commande retardée

02/03/2015
Publication e-STA e-STA 2014-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2014-1:12784
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Domaine de stabilité indépendante du retard d'un système linéaire à commande retardée

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	    <date dateType="Created">Mon 2 Mar 2015</date>
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DOMAINE DE STABILITE INDEPENDANTE DU RETARD D’UN SYSTEME LINEAIRE A COMMANDE RETARDEE Chehir BEN NEJMA, Sami ELMADSSIA, Mohamed BENREJEB bennejma.enit@gmail.com , sami.elmadssia@enit.rnu.tn , mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn LA.R.A Automatique, École Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie. Résumé - Dans cet article, est proposée une méthode de détermination d’un domaine de stabilité indépendante du retard pour un système linéaire à commande retardée. Elle est basée sur l’exploitation des techniques d’agrégation pour l’étude de la stabilité et une représentation d’état, utilisant une matrice de forme en flèche de Benrejeb, pour la description du système étudié. L’étude, menée dans le cas d’un système du troisième ordre, a illustré la mise en œuvre de la méthode proposée. Mots clés - Système linéaire à commande retardée, retour d’état, matrice de forme en flèche de Benrejeb, stabilité, techniques d’agrégation. I. INTRODUCTION Les systèmes à retard font l’objet de plusieurs recherches actives, vu leur importance dans de nombreux domaines [1]. Ils apparaissent dans la modélisation de processus rencontrés en physiques, mécanique, économie, chimie, biologie, phy- siologie, télécommunication, etc [2–5]. La présence du retard est la propriété d’un système physique par lequel l’action est retardée dans son effet [6] ; elle peut être due à une ou plusieurs causes ; à chaque fois que l’information ou l’énergie est transmise d’un endroit à un autre, un retard surgit à l’occasion de cette transmission. Même si le système lui- même ne contient pas de retard, les capteurs, les actionneurs et les temps de calcul nécessaires à sa commande peuvent engendrer des retards non négligeables [7]. La présence du retard peut provoquer des comportements complexes tels que des oscillations, l’instabilité, etc [8]. Cependant, plusieurs techniques de stabilisation des systèmes à retards doivent assurer certaines marges de stabilité et de performance [18– 21], en utilisant une commande basée essentiellement sur un retour d’état [9]. Dans ce sens, nous envisageons d’exploiter cette technique pour la détermination d’un domaine qui assure une stabilité indépendamment du retard [10, 11, 24]. Ce papier est organisé comme suit. Après la description du système linéaire à commande retardée étudié dans la section II, des conditions suffisantes de stabilité du système ainsi que la détermination d’un domaine de stabilité seront présentées dans la troisième section. Les résultats obtenus sont appliqués avec succès à un exemple dans la dernière partie. II. DESCRIPTION DU SYSTEME LINEAIRE A COMMANDE RETARDEE ETUDIE Considérons le système linéaire à commande retardée décrit par l’équation différentielle scalaire suivante : y(n) (t) + n−1∑ i=0 aiy(i) (t) = u(t − τ) (1) τ ∈ R+ est le retard, y(t) ∈ Rn , u(t) ∈ R et ai des constantes ∀ i = 0, 1, ..., n − 1. L’application de la loi de commande stabilisante, par retour d’état suivante : u(t) = n−1∑ i=0 kiy(i) (t) (2) conduit au système bouclé décrit par : y(n) (t) + n−1∑ i=0 aiy(i) (t) − n−1∑ i=0 kiy(i) (t − τ) = 0 (3) ki étant des gains constants. Soit K le vecteur défini par : K = (k0, k1, . . . , kn−1) (4) La fonction caractéristique d’un tel système donnée par l’équa- tion suivante : ∆(s, e−τs ) = p(s) + e−τs q(s) (5) avec : p(s) = sn + n−1∑ i=0 aisi (6) q(s) = − n−1∑ i=0 kisi (7) s étant l’opérateur de Laplace. Dans la section qui suit, des conditions suffisantes de stabilité du système (3) sont formulées. III. CONDITIONS DE STABILITE PROPOSEES L’application du théorème de Mori et la mise en oeuvre des résultats des travaux de Benrejeb nous ont permis d’énoncer le théorème suivant. Théorème Le système (3) est asymptotiquement stabilisable par la commande (2) si l’une ou l’autre des conditions a) ou b) est vérifiée : a) i) il existe des paramètres, αi ∀ i = 1, ..., n − 1, distincts deux à deux et strictement négatifs. ii) γn + |kn−1| + n−1∑ i=1 βiα−1 i (|q(αi)| + |p(αi)|) < 0 avec : γn = −an−1 − n−1∑ i=1 αi (8) βi = n−1∏ j=1, i̸=j (αi − αj)−1 (9) b) i) il existe des paramètres, αi ∀ i = 1, ..., n − 1, distincts deux à deux et strictement négatifs, vérifiant : q(αi)βi < 0 et p(αi)βi < 0 p et q étant donnés respectivement par (6) et (7). ii) kn−1 < 0 iii) a0 − k0 > 0 Démonstration A partir du choix du vecteur de phase, x ∈ Rn comme vecteur état, x = [ y, y′ , ..., y(n−1) ]T , le système d’écrit par l’équation scalaire (3), peut être représenté par l’équation d’état suivante : ˙x (t) = Acx (t) + BKx (t − τ) (10) avec : Ac =      0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 −a0 −a1 . . . −an−1      ; B =      0 ... 0 1      (11) Considérons le changement de base régulier suivant : x(t) = Pz(t), z(t) ∈ Rn (12) avec : P =          1 1 · · · 1 0 α1 α2 · · · αn−1 ... α2 1 α2 2 · · · α2 n−1 ... ... ... · · · ... 0 αn−1 1 αn−1 2 · · · αn−1 n−1 1          (13) Les paramètres αi, ∀ i = 1, ..., n − 1, peuvent être choisis arbitrairement non nuls, tels que : αi < 0, αi ̸= αj ∀i ̸= j (14) Le changement de base (12) permet de rendre la matrice d’état du système bouclé (3) sous la forme en flèche de Benrejeb [12– 14, 22], suivante : ˙z (t) = Fz (t) + Dz (t − τ) (15) avec : F =         α1 β1 α2 ... ... ... αn−1 βn−1 γ1 · · · · · · γn−1 γn         (16) et : D =       0 · · · · · · 0 ... · · · · · · ... ... · · · · · · ... µ1 · · · µn−1 kn−1       (17) γi et µi étant défini par : { γi = −p(αi) µi = −q(αi) ∀ i = 1, .., n − 1 (18) Il est à remarquer que les éléments non nuls de la matrice D sont isolés dans la dernière ligne. Dans [15], Mori et al ont montré que le système (15) est asymptotiquement stable indépendamment de la valeur du retard si : M = F∗ + D+ est l’opposée d’une M-matrice, avec : F∗ =         α1 |β1| α2 ... ... ... αn−1 |βn−1| |γ1| · · · · · · |γn−1| γn         (19) D+ =       0 · · · · · · 0 ... · · · · · · ... ... · · · · · · ... |µ1| · · · |µn−1| |kn−1|       (20) et : M =         α1 |β1| α2 ... ... ... αn−1 |βn−1| |γ1| + |µ1| · · · · · · |γn−1| + |µn−1| γn + |kn−1|         (21) Les αi étant négatifs, M est l’opposée d’une M-matrice si on a [14, 16] : (−1) n det M > 0 (22) avec : det(M) = n−1∏ i=1 αi [ |kn−1| + γn − n−1∑ i=1 |βi| (|γi| + |µi|) αi ] (23) Cette condition sous forme explicite est équivalente à la suivante : |kn−1| + γn + n−1∑ i=1 βiα−1 i (|p(αi)| + |q(αi)|) < 0 (24) Par ailleurs, pour la démonstration de b) nous reprenons l’équation (24) qui peut être réécrite sous la forme : γn − n−1∑ i=1 |βiγi| αi + |kn−1| − n−1∑ i=1 |βiµi| αi < 0 (25) Si βiγi > 0 et βiµi > 0, l’équation (25) se ramène a l’inégalité suivante : γn − n−1∑ i=1 βiγi αi + |kn−1| − n−1∑ i=1 βiµi αi < 0 (26) Si de plus, kn−1 < 0, on obtient : [ γn − n−1∑ i=1 βiγi αi ] + [ − kn−1 − n−1∑ i=1 βiµi αi ] < 0 (27) Sachant que : γn − n−1∑ i=1 βiγi αi = −p(0) Q(0) (28) et que : − kn−1 − n−1∑ i=1 βiµi αi = −q(0) Q(0) (29) avec : Q (λ) = n−1∏ i=1 (λ − αi) (30) L’inégalité (27) devient : − p(0) + q(0) Q(0) < 0 (31) Or, on a : Q(0) > 0 (32) La condition de stabilité se ramène donc à : p(0) + q(0) = a0 − k0 > 0 (33) Ce qui achève la démonstration du théorème. IV. EXEMPLE D’APPLICATION Soit le système de troisième ordre défini par l’équation suivante : y(3) (t) + 2∑ i=0 aiy(i) (t) − 2∑ i=0 kiy(i) (t − τ) = 0 (34) ou par la représentation d’état suivante : ˙x (t) = Acx (t) + BKu (t − τ) (35) avec : Ac =   0 1 0 0 0 1 −15 −23 −9   (36) et : BK =   0 0 0 0 0 0 k0 k1 k2   (37) Sa fonction caractéristique est donnée par (5), avec : p(s) = s3 + 9s2 + 23s + 15 (38) q(s) = −k0 − k1s − k2s2 (39) Le changement de base de la forme (12) conduit à la repré- sentation suivante : ˙z (t) = Fz (t) + Dz (t − τ) (40) avec : F =   α1 1 α1−α2 α2 1 α2−α1 −p(α1) −p(α2) −9 − (α1 + α2)   (41) et : D =   0 0 0 0 0 0 µ1 µ2 k2   (42) Le choix de α1 et α2 tels que α1 = −2 et α2 = −4, donne : F =   −2 0.5 −4 −0.5 3 −3 −3   (43) et : D =   0 0 0 0 0 0 (k0 − 2k1 + 4k2) (k0 − 4k1 + 16k2) k2   (44) En appliquant le théorème a), il vient la condition de stabilité suivante : |k2| + 0.25 |k0 − 2k1 + 4k2| + 0.125 |k0 − 4k1 + 16k2| < 1, 875 (45) L’application du b), nous ramène au système suivant :    k0 − 2k1 + 4k2 > 0 k0 − 4k1 + 16k2 < 0 k0 < 15 k2 < 0 (46) le choix des trois paramètres de correction k0, k1et k2 respectant les conditions (45) ou (46) garantit la stabilisation asymptotique du système (34) étudié. La figure 1 présente le domaine de stabilité dans le plan des paramètres (k0, k1, k2), relatif à la condition (45). -4 -2 0 2 -4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1 k0 k1 k2 4 Fig. 1. Domaine de stabilité du système commandé dans le domaine des paramètres (k0, k1 et k2) La figure 2 présente le domaine de stabilité dans le plan des paramètres (k0, k1, k2), relatif à la condition (46). −1 −0. 8 −0. 6 −0. 4 −0. 2 0 k2 k1 k0 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Fig. 2. Domaine de stabilité du système commandé dans le domaine des paramètres (k0, k1 et k2) V. CONCLUSION L’étude de la stabilisation par retour d’état, basée principale- ment sur le choix de la représentation de la forme en flèche de Benrejeb, pour les systèmes continus à commande retardée, a conduit à des conditions explicites par rapport aux paramètres du système étudié et de mise en œuvre aisée. L’étude relative à un système du troisième ordre a montré l’efficacité de l’approche proposée. RÉFÉRENCES [1] J. P. Richard. 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