Contrôle longitudinal de véhicule par commande sous-optimale

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20083
DOI :

Abstract

Contrôle longitudinal de véhicule par commande sous-optimale

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	    <date dateType="Created">Sun 1 Oct 2017</date>
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Contrôle longitudinal de véhicules par commande sous-optimale L. Nouvelière J. Sainte-Marie S. Mammar N. K. M’Sirdi INRETS/LCPC, LIVIC INRIA Rocquencourt CEMIF/FRE LRV - 10, 12 av. 13, route de la Minière BP 105 Univ. d’Evry de l’Europe 78000 Versailles, France 78153 Le Chesnay 91025, Evry Cedex 78140 Vélizy nouvelie@lcpc.fr cedex, France France France Résumé— Dans le domaine des transports routiers, les contraintes liées à la sécurité et à la capacité des voies de circulation rendent la connaissance des distances inter- véhiculaires et éventuellement leur contrôle, nécessaires. Cet article propose une méthode de commande sous-optimale permettant de contrôler les véhicules routiers légers en vitesse et en position. Cette méthode peut aussi bien être utilisée pour un contrôle autonôme, c’est-à-dire sans coopération ou communication avec l’infrastructure et les véhicules, que pour une stratégie de véhicules en file. Mots-clés— Contrôle longitudinal, distance inter-véhiculaire, commande sous-optimale, modèle discret, capacité. I. Introduction De nos jours, les réseaux péri-urbains sont touchés par des phénomènes de congestions récurrentes, dûs à une aug- mentation croissante des déplacements péri-urbains, ce qui nous amène à la réflexion suivante : comment augmen- ter la capacité des infrastructures, tout en améliorant la sécurité et le confort des automobilistes ? Des solutions peuvent alors être envisagées : obtenir une meilleure utili- sation des places disponibles en automatisant les véhicules routiers à basse vitesse ou bien rationaliser l’ensemble des déplacements. La première stratégie a été adoptée au La- boratoire sur les Interactions Véhicule - Infrastructure - Conducteur (LIVIC) et fait dans un premier temps appel à l’étude comportementale des distances inter-véhiculaires. L’article fait apparaı̂tre l’analyse du mode longitudinal, le contrôle de véhicule et des résultats au niveau macrosco- pique. Ainsi, dans la partie 2, un modèle non linéaire de véhicule est utilisé, en prenant en compte les actionneurs du frein et de l’accélérateur. Nous faisons, par ailleurs, ap- paraı̂tre la notion de glissement longitudinal au contact roue/chaussée. Le cas où la vitesse du véhicule se rapproche de zéro est étudié, un modèle asymptotique est donné. Nous donnons, par ailleurs, une expression analytique de la distance inter-véhiculaire. A partir de cette expres- sion, nous proposons une forme paramétrée de cette dis- tance, en fonction de la vitesse du véhicule. De manière à vérifier la cohérence de cette représentation analytique, nous présentons, en section 3, quelques résultats issus de l’estimation des paramètres de la fonction, par filtrage de Kalman, à partir de mesures effectuées dans le trafic. Après discrétisation du modèle, une stratégie de com- mande sous-optimale est présentée pour réguler le véhicule en inter-distance. Divers résultats établis à partir de consignes réalistes et respectant des critères de confort et d’acceptabilité sont présentés en simulation. Une étude de la stabilité d’une file est traitée. En outre, le cas de régimes transitoires et plus particulièrement celui d’une insertion de véhicule dans la voie est envisagé. Enfin, nous montrons l’évolution de la capacité autoroutière avec de tels systèmes régulés en inter-distance, en fonction de la capacité de frei- nage des véhicules. II. Etude du mode longitudinal A. Modélisation longitudinale du véhicule Dans ce paragraphe, un modèle non-linéaire classique du mode longitudinal est utilisé, dans le but de représenter les phénomènes les plus caractéristiques intervenant dans le mode longitudinal [3][4]. Ce modèle fait intervenir toute la chaı̂ne moteur {moteur/frein - boı̂te de transmission - roue - contact roue/sol}. Avec les notations du tableau 1, les deux équations issues de l’application du Principe Fonda- mental de la Dynamique au système véhicule sont :    Mẍ(t) − Kr.sat( i imax ) + cxẋ(t)2 = 0 Imẇm(t) = (1 − ε)Tm(t) − R(hKr.sat( i imax ) − Tfr(t) + hFf ) (1) Par ailleurs, nous considérons que les actionneurs de frei- nage et d’accélération sont régis par des premiers ordres du type : Ṫfr = T ∗ fr−Tfr τfr , pour le frein Ṫm = T ∗ m−Tm τm , pour l’accélérateur (2) Le glissement longitudinal au contact pneumatique/chaussée i est défini comme suit : i = Rhwm(t) − ẋ(t) max(Rhwm(t), ẋ(t)) , si : |Rhwm(t) − ẋ(t)|  imax (3) Nous avons introduit la fonction sat intervenant dans l’ex- pression de la force de traction : Ftr = Kr.sat( i imax ), (4) telle que : sat( i imax ) =       i imax , si : ( i imax )] − 1, 1[ 1, si : i  imax −1, si : i  −imax (5) 906 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 M Masse du véhicule x(t) Position du véhicule Kr Coefficient de raideur longitudinal des pneumatiques i Glissement longitudinal imax Glissement longitudinal maximal dans le domaine linéaire cx Coefficient de pénétration dans l’air Tfr Couple de freinage T ∗ fr Couple de freinage désiré τfr Constante de temps de l’actionneur frein Tm Couple moteur T ∗ m Couple moteur désiré τm Constante de temps de l’actionneur accélérateur wm Régime moteur Im Inertie effective du moteur R Rapport de vitesse ( différentiel inclus) h Hauteur du centre de la roue Fr Frottement de roulement Tableau 1 : Paramètres intervenant dans le modèle B. Calcul de la distance inter-véhiculaire Dans l’objectif d’optimiser les distances inter-véhiculaires, en particulier sur les autoroutes péri-urbaines, il est im- portant de voir comment évolue la distance que laisse un conducteur devant lui, dans des conditions normales de cir- culation et particulièrement en fonction de la vitesse propre de son véhicule. Nous souhaitons d’abord calculer une expression de la distance de freinage d’un véhicule, à partir du scénario sui- vant : un véhicule A suit un véhicule B. Le véhicule A freine alors à l’instant t0 jusqu’à l’arrêt à l’instant t0 + ts, avec un couple de freinage désiré T∗ fr. Sa distance parcourue est la distance de freinage ds. Nous prenons les conditions initiales suivantes : Tfr(t0) = 0, Tm(t0) = 0, x(t0) = x0, ẋ(t0) = V0, wm(t0) = V0 Rh + αV0. Ainsi, à partir des équations 1 et 2, et en définissant la distance de freinage comme étant : ds = x(t0 + ts) − x(t0), (6) nous pouvons obtenir une nouvelle forme de l’ensemble d’équations 1 et 2, en prenant pour hypothèses |i|  imax, et à tout instant le véhicule n’accélère pas, soit Rhwm(t)  ẋ(t) :        Mẍ(t) − Kr(Rhwm(t)−ẋ(t) imaxẋ(t) ) + cxẋ2 (t) = 0 Ṫfr = T ∗ fr(t)−Tfr(t) τfr Imẇm(t) = −R(hKr(Rhwm(t)−ẋ(t) imaxẋ(t) ) − Tfr(t) + hFr) (7) En considérant maintenant la relation 6, où t = t0 + ts est l’instant où ẋ s’annule, et en faisant les hypothèses sui- vantes : Tfr(t) = T∗ fr(1 − e − t−t0 τfr ) avec T∗ fr constant sur [t0, t0 + ts], et que par ailleurs, e − t−t0 τfr  1, les fonctions t → ẋ(t) et t → ẇm(t) sont C0 sur [t0, t0 + ts], nous en déduisons la distance de freinage : ds = Im R2h2M+Im [imax 2Kr MV 2 0 + RhαV0ts + V0ts −R2 h2 Im (− T ∗ frt2 s 2h − T ∗ frτ2 fr h (1 − e − ts τfr ) + T ∗ frτfrts h +Fr(ts)2 2 − MV0ts) − cxR2 h2 Im  t0+ts t0  t t0 ẋ2 (u)dudt −cximax Kr  t0+ts t0 ẋ3 (t)dt] (8) avec ts = 1 (−T ∗ fr+hFr) (ImV0 R2h (1 + αRh) + hMV0 −hcx  t0+ts t0 ẋ2 (u)du − T∗ frτfr)  tmax s où tmax s = 1 (−T ∗ fr+hFr) (ImV0 R2h + ImαV0 R + hMV0 − T∗ frτfr). α peut être approximé par α = cximax KrV 2 0 , en supposant ẍ(t0) ≈ 0. Une approximation au premier ordre donne finalement ds = Im R2h2M+Im [imax 2Kr MV 2 0 + RhαV0tmax s +V0tmax s − R2 h2 Im (− T ∗ fr(tmax s )2 2h − MV0tmax s − T ∗ frτfr h (τfr − tmax s ) + Fr(tmax s )2 2 )] (9) A partir de ds, nous pouvons déduire la distance inter- véhiculaire en prenant en compte le temps de réaction δt écoulé entre le moment où le conducteur voit un véhicule ou un obstacle devant lui et le moment où il pose le pied sur la pédale de frein. En outre, nous devons rajouter une inter-distance à l’arrêt dmin des véhicules, lorsque ẋ tend vers zéro. La distance inter-véhiculaire vaut donc : d = dmin + V0δt + ds (10) en considérant que ẋ(t) reste constante sur l’intervalle [t0 − δt, t0]. 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 0.2g (capacité de freinage) 0.4g 0.6g 0.8g Vitesse (km/h) Distance inter−véhiculaire (m) Fig. 1. Distance inter-véhiculaire en fonction de la vitesse initiale et du couple de freinage A partir de l’équation 10, nous pouvons, en choisis- sant des valeurs pour les paramètres a, b, c relativement réalistes, paramétrer l’expression de la distance de sécurité de la manière suivante : d(ẋ(t)) = a + bẋ(t) + cẋ(t)2 (11) puisque ds est fonction de V 2 0 et de V0tsmax avec tsmax fonction de V0. A ce niveau, ds est une distance d’arrêt dite ” mur de briques ”. Par contre, au sein du trafic, le véhicule B que l’on suit a une inertie et n’est donc pas ” mur de briques ”, ce qui signifie que le paramètre c doit maintenant s’écrire : c = cB − cA, c nous renseignant sur la capacité de freinage perçue par le véhicule suiveur A (cA = 1 2γAg , cB = 1 2γBg , où γ est un coefficient et g est la gravité, le produit γg étant homogène à une capacité de freinage). Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 907 III. Estimation des paramètres B A Véhicule Véhicule d = y - x LiDAR ) y , y (  ) x , x (  2 x c a x b Fig. 2. Définition des variables utilisées L’objectif de cette section est d’estimer les paramètres a, b, c par filtrage de Kalman [2][6], puisque le système est fortement non-linéaire à paramètres variants, nous de- vons donc d’abord définir la structure du problème à résoudre. Considérons la situation suivante : un véhicule suit un véhicule instrumenté à l’aide d’un odomètre et d’un télémètre laser de type LiDAR. Les variables x et y sont alors choisies comme étant les positions respectives des véhicules suiveur et instrumenté, ẋ et ẏ leurs vitesses respectives, l’inter-distance d(t) = y(t)−x(t) étant mesurée par le LiDAR. Nous pouvons ainsi écrire notre système à résoudre de la façon suivante :    ϕ̃(x, ẋ, y, t, a, b, c) = 0 Yk =  x(tk) y(tk)  (12) où y(tk) est la mesure effectuée par un odomètre à l’instant tk, et x(tk) = y(tk) − d(tk). Les paramètres a, b, c peuvent éventuellement dépendre du temps. A l’aide de l’équation 11, la relation précédente faisant intervenir ϕ̃ s’écrit sous forme implicite : y(t) − x(t) − a − bẋ(t) − cẋ2 (t) = 0 (13) Bien évidemment, la vitesse ẋ doit être une grandeur posi- tive. Par ailleurs, nous devons avoir y(t) − x(t) − a  0. De ce fait, on ajoute ces contraintes au problème (12), pour obtenir finalement :            y(t) − x(t) − a − bẋ(t) − cẋ2 (t) = 0 ẋ  0 y(t) − x(t) − a  0 Yk =  x(tk) y(tk)  (14) Pour pouvoir mettre en oeuvre l’algorithme correctement, nous pouvons écrire notre système de la manière suivante : · x̃ = A( · x̃, x̃) Ỹk = H̃.x̃k (15) avec, pour vecteur d’état : x̃ = [ x a b c ]t , H̃ = [ 1 0 0 0 ]. Nous appliquons la méthode du filtrage de Kalman implicite, sur des relevés in situ de distances inter-véhiculaires et vitesses de véhicule correspondantes. La phase d’intégration en temps est réalisée à l’aide d’un schéma en temps implicite (θ−méthode) et un algorithme de résolution de Newton [1]. Nous présentons des résultats sous forme de moyenne de chaque paramètre a, b, c obtenus à partir de tronçons de mesures effectuées sur des durées de plusieurs heures avec le LiDAR et l’odomètre : amoy = 3.74 m, bmoy = 1.415 s, cmoy = 0.2378 m−1 s2 . La valeur de ces paramètres dépend évidemment des conditions de circulation, mais aussi du comportement du conducteur (prudent, dangereux, ...). Les variations des pa- ramètres a, b, c au cours du temps sont données figure 3, elles concernent une conduite donnée. Les variations signi- fient que la perception de la distance de sécurité propre à ce conducteur varie au cours du temps, en fonction des conditions de conduite. 2800 2820 2840 2860 2880 2 3 4 5 6 7 8 Vitesse du véhicule (m.s −1 ) 2800 2820 2840 2860 2880 4.575 4.58 4.585 4.59 4.595 Paramètre a (m) 2800 2820 2840 2860 2880 0.0198 0.02 0.0202 0.0204 0.0206 0.0208 0.021 0.0212 Paramètre b (s) 2800 2820 2840 2860 2880 0.1361 0.1361 0.1361 0.1361 Paramètre c (m −1 .s 2 ) Fig. 3. Profil mesuré de vitesse et estimation des paramètres IV. Commande longitudinale de véhicule Dans ce paragraphe, nous souhaitons réguler un véhicule en vitesse et position relativement à celui qui le précède sur sa voie. D’après les équations 1 et 2, la représentation d’état correspondante s’écrit : [M]Ẋ = A(X, t) + B ◦ U(t) X(t0) = X0 (16) où X = [ẋ, Tfr, Tm, wm]t est le vecteur d’état et U = [T∗ m, T∗ fr]t est l’entrée du système, [M] représente la matrice de masse. De toute évidence, les deux entrées ne peuvent être non nulles simultanément. Nous utilisons donc ici une commande sous-optimale, consistant à obtenir une entrée U qui respecte, à la fois, les critères de sécurité et de confort. Nous choisissons donc le critère J suivant : J = t1 t0 (ȳ(t) − x(t) − βd(ẋ))2 dt (17) avec d définie par l’équation 11, et ȳ(t) = 1 T  t t−T y(u)du, T étant la période, permet de lisser les variations hautes fréquences de y. [t0, t1] est l’intervalle de contrôle. β est un paramètre sécuritaire défini comme suit : si β  1, (y − x)  d (18) si β  1, (y − x)  d (19) Remarquons qu’avec l’inégalité 19, un risque de collision subsiste (collision à faible vitesse). L’inter-distance βd ap- paraı̂t donc plus ou moins sécuritaire suivant la valeur de β. Nous pouvons à présent formuler le problème de contrôle de la manière suivante :      [M]Ẋ = A(X, t) + B ◦ U∗ (t) X(t0) = X0 JU∗ = min U JU (20) où JU est la valeur de J obtenue pour la loi de contrôle U. 908 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 A. Existence et unicité de la solution Supposons ici que X0 est tel que nous ayons ȳ(t0) − x(t0)−βd(ẋ(t0)) = 0 et considérons l’équation différentielle ordinaire suivante : ȳ(t) − x(t) − β(a + bẋ(t) + cẋ2 (t)) = 0 (21) en choisissant β et a satisfaisant l’inéquation ȳ(t) − x(t) − βa  0 ∀t ∈ [t0, t1]. Nous en déduisons alors que t → x(t) est solution de l’équation différentielle non linéaire du premier ordre : ẋ(t) = − b 2c + βb2 + 4c(ȳ(t) − x(t) − βa) 2c √ β (22) Nous définissons ensuite : ϕ(x, t) = − b 2c + √ βb2+4c(ȳ(t)−x(t)−βa) 2c √ β , si ȳ(t) − x(t) − βa  0 0, sinon (23) avec x(t0) satisfaisant ȳ(t0) − x(t0) − βa > 0. Nous intro- duisons, par ailleurs, l’intervalle ]t̃0, t̃1[, sur lequel la po- sition ȳ du véhicule suivi est C1 , et donc ϕ est C1 sur I =]x(t̃0), x(t̃1)[×]t̃0, t̃1[, ce qui assure, par le théorême de Cauchy-Lipchitz : ẋ(t) = ϕ(x, y, t) x(t0) = x0 ∈]x(t̃0), x(t̃1)[ (24) que la solution xd est unique sur I. La fonction t → xd (t) est finalement le déplacement du véhicule contrôlé qui an- nule le critère JU . Il suffit donc à présent, à partir de xd (t), de voir s’il existe une loi de contrôle U telle que : xd (t) = xU (t), ∀t ∈]t̃0, t̃1[ (25) En reprenant les équations 1 et 2, et en y insérant xd (t) et wd m(t), cela revient à obtenir la quantité Td m + RTd fr. Les deux propositions suivantes donnent les deux résultats principaux permettant d’exprimer l’existence et l’unicité de la solution. Ce qui signifie qu’à partir de t → Td m(t) + RTd fr(t), il est possible de retrouver T∗d m et T∗d fr , soit Ud. Proposition 1: Si t → Tm(t) + RTfr(t) ∈ C1 (]t̃0, t̃1[) sa- tisfaisant 16 est connue pour tout t ∈]t̃0, t̃1[, alors il est pos- sible d’en déduire les valeurs de l’entrée t → T∗ m(t) (resp. T∗ fr(t)) correspondant à t → Tm(t) (resp. Tfr(t)). Proposition 2: Si t → y(t) est assez régulière ( en pra- tique C1 ), la quantité βa assez grande pour que l’on ait ȳ(t)−x(t)−βa  0 et X0 tel que ȳ(t0)−x(t0)−βd(ẋ(t0)) = 0, alors le problème 20 a une unique solution [M]Ẋd = A(Xd , t) + B ◦ Ud (t), avec JUd = min U JU ≡ 0. Les démonstrations de ces deux propositions sont quasi- ment évidentes, en considérant que T∗ m(t)T∗ fr(t) = 0. Considérons le problème ci-dessous : [M]ẊU = A(XU , t) + B ◦ U(t) XU (t0) = X0 (26) Des résultats classiques sur les ODE ainsi que les propriétés du modèle 7 assurent que XU est stable relativement à la commande U(t), et permet d’en déduire la solution. B. Discrétisation du modèle Dans cette partie, nous souhaitons discrétiser le problème 20. En fait, ce problème est pris comme un problème de contrôle sous-optimal, étant donné que ȳ n’est a priori pas connue, mais que nous l’obtenons uniquement par mesure de celle-ci à chaque instant tk. Nous obtenons donc :      Xk+1 = Xk + ∆k+1Ã(Xk, Uk, tk) ˜ JUk = min U ˜ JU ˜ JU =  tk+1 t0 (ȳ(t) − x(t) − βd(ẋ))2 dt (27) La discrétisation des équations 1 et 2 entre tk−1 et tk donne par ailleurs :            M(ẋk − ẋk−1) = ∆kKrsatk−1 − ∆kcxẋ2 k−1 Tfrk = (1 − ∆k τfr )Tfrk−1 + ∆k τfr T∗ frk−1 Tmk = (1 − ∆k τm )Tmk−1 + ∆k τm T∗ mk−1 Im(wmk − wmk−1 ) = ∆k(1 − ε)Tmk−1 −∆kR(hKrsatk−1 − Tfrk−1 + hFr) (28) où les notations sont : fk pour f(tk) et ∆k = tk − tk−1. D’autre part, nous avons : satk−1 = Rhwmk−1 − ẋk−1 imaxẋk−1 , (29) si ẋk−1  Rhwmk−1 et |i|  imax En combinant la première et la quatrième équation de (28) et en faisant apparaı̂tre T∗ m et T∗ fr, nous obtenons l’expres- sion suivante : xk+1 = xk + ∆k+1ẋk−1 − ∆k+1∆kcx M ẋ2 k−1+ +∆k+1∆kRhKr Mẋk−1imax [wmk−2 − ∆k−1RhKr Im satk−2 − ∆k−1RhFr Im −ẋk−1 Rh ] + ∆k+1Kr∆k∆k−1Rh MImẋk−1imax [(1 − ε)(1 − ∆k−2 τm )Tmk−3 +R(1 − ∆k−2 τfr )Tfrk−3 ] + ∆k+1Kr∆k∆k−1Rh MImẋk−1imax [∆k−2R τfr T∗ frk−3 +∆k−2(1−ε) τm T∗ mk−3 ] (30) Plus simplement, nous pouvons écrire cette relation comme suit : xk+1 = xk + bk + akαk (31) = xk + bk + am k T∗ mk−3 + afr k T∗ frk−3 En outre, si nous considérons le cas où ẋk−1  Rhwmk−1 , nous avons alors : xk+1 = xk + ˜ dk +c̃k(1− ẋk−1 ãm k T∗ mk−3 + ãfr k T∗ frk−3 + b̃k ) (32) avec ãm k =∆k−1∆k−2Rh(1−ε) Imτm , ãfr k =∆k−1∆k−2R2 h Imτfr ˜ dk=∆k+1ẋk−1−∆k+1∆kcx M ẋ2 k−1, c̃k=∆k+1∆kKr Mimax b̃k= Rh(wmk−2 +∆k−1 Im ((1 − ε)(1−∆k−2 τm )Tmk−3 +R(1−∆k−2 τfr )Tfrk−3 )−∆k−1Rh Im (Krsatk−2+Fr)) (33) C. Comportement asymptotique Nous avons jusqu’ici obtenu un modèle quasi complet, prenant en compte le glissement longitudinal. Mais, lorsque Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 909 ẋ tend vers zéro, la fonction sat possède des singularités. Nous pouvons dans ce cas considérer que le glissement est très faible et on peut donc faire une hypothèse de non glis- sement au contact roue/sol. On applique à nouveau le rai- sonnement à partir du système (28), pour obtenir : xk+1 = xk + bk + am k T∗ mk−2 + afr k T∗ frk−2 (34) avec bk=∆k+1ẋk−1−Rhcx( ∆k∆k+1 Im Rh +RhM )ẋ 2 k−1 + ∆k+1∆k Im Rh +RhM ((1 − ε)(1−∆k−1 τm )Tmk−2 +R(1−∆k−1 τfr )Tfrk−2 −RhFr) am k = ∆k+1∆k Im Rh +RhM (1 − ε)∆k−1 τm , afr k = ∆k+1∆k Im Rh +RhM R∆k−1 τfr (35) Nous appliquerons, dans la suite, ce modèle de comporte- ment asymptotique lorsque ẋ  5 km/h. D. Algorithme de commande En discrétisant le problème (27), le critère devient : ˜ JUk+1 =
ti∈[t0,tk+1[ ∆i(ȳi − xi − ã − b̃ẋi−1 − c̃ẋ2 i−1)2 +∆k+1(ȳk+1 − xk+1 − ã − b̃ẋk − c̃ẋ2 k)2 A partir de cela, et en distinguant les différentes situations d’accélération, de freinage, ou de comportement asympto- tique, l’unique solution du système : d ˜ JUk+1 dαk = 0 ẋk  0, soit αk  − bk ak (36) est donnée par : αk = − bk ak − ∆k+1 2akβc (βb + ∆k+1− (βb + ∆k+1)2 + 4βc(ȳk − xk − βa)) (37) en phase d’accélération, et celle de :    d ˜ JUk+1 dαk = 0 ẋk  0, soit αk  ẋk−1c̃k ãk(c̃k+ ˜ dk) − b̃k ãk (38) est donnée par : αk = − bk ak + 2βcc̃kẋk−1 ãk(2βc(c̃k+ ˜ dk)+∆k+1(∆k+1+βb− √ (βb+∆k+1)2+4βc(ȳk−xk−βa))) (39) pendant le freinage. Nous utiliserons pour nos simulations des pas de temps adaptif ∆k+1, dépendant de la valeur de Rhwm − ẋ, i.e. du glissement, et le calcul de ∆k+1 est similaire à celui utilisé par les méthodes de type Runge- Kutta à pas adaptif [5]. V. Stabilité au sein d’une file de véhicules Maintenant que nous pouvons contrôler un véhicule en vitesse et en position, il est intéressant de voir comment se comportent n véhicules dans une file. A ce sujet, en représentant chaque véhicule, sur une voie, par une masse, toutes reliées consécutivement par un ressort et un amor- tisseur, le véhicule est alors ramené à un oscillateur à deux degrés de liberté, de raideur K avec un amortissement C et répondant à l’équation suivante : ẍ(t) = K(y(t) − x(t) − a − bẋ(t) − cẋ2 (t)) (40) +C d dt (y(t) − x(t) − a − bẋ(t) − cẋ2 (t)) ce qui revient à : (1 + Cb + 2cCẋ(t))ẍ(t)+ (C + bK + Kcẋ(t))ẋ(t) + Kx(t) = K(y(t) − a) + Cẏ(t) Nous estimons ensuite la raideur et l’amortissement du système considéré par filtrage de Kalman [2][6], dont le résultat apparaı̂t sur la figure 5. La raideur K reste qua- siment constante, malgré de grandes variations de vitesse, contrairement à l’amortissement. VI. Cas d’une insertion de véhicule y(t) Position du véhicule suivi virtuel Position du véhicule suivi ( mesuré) (A) (B) t Fig. 4. Variation de la position du véhicule suivi Lorsqu’un véhicule évolue au sein d’une file, il est confronté à différentes perturbations comme l’insertion d’un véhicule devant lui, ou bien lorsque le véhicule qu’il suit change de voie. Ce genre de situation engendre des va- riations importantes des inter-distances en un temps rela- tivement court. Prenons le cas d’une insertion de véhicule : puisque la distance inter-véhiculaire va décroı̂tre brutale- ment, le système va vouloir atteindre très vite le nouveau minimum du critère, ce qui met le véhicule et les passagers dans une situation inconfortable. L’idée est donc d’introduire un véhicule virtuel qui ” évolue ” devant le véhicule contrôlé, selon la figure 4. La phase (A) correspond au moment où un véhicule s’insère devant le véhicule contrôlé, et la phase (B) au cas où le véhicule suivi accélère ou décélère fortement. De ce fait, pour éviter les hautes fréquences sur le signal y(t), nous remplaçons y(t) par : z(t) =    y(t), lorsque y(t) est suffisamment lisse ȳ(t) + (yv1 − y1 + (t − t1)(ẏv1 − ẏ1))e−θ(t−t1)2 sinon et pour t  t1 avec f1 pour f(t1), t1 est l’instant où y n’est plus un signal assez lisse. L’indice v désigne le véhicule virtuel. Le paramètre θ permet d’assurer la positivité de sa vitesse : on montre que θ doit être faible. VII. Simulations A. Utilisation du modèle asymptotique Nous présentons, dans un premier temps, sur les figures 5, une simulation sous MATLAB correspondant à la com- mande traitée dans les sections précédentes, et appliquée au modèle donné par les équations 1 et 2. Elle fait intervenir le comportement asymptotique pour les faibles vitesses. 910 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 0 20 40 60 80 100 0 50 100 150 Temps (s) Profil de vitesse (km/h) Véhicule suivi Véhicule contrôlé 0 20 40 60 80 100 −200 0 200 400 600 800 1000 1200 Temps (s) Distance parcourue (m) Véhicule suivi Véhicule contrôlé 0 20 40 60 80 100 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 Temps (s) Efforts de commande (N) Effort moteur (N) Effort de freinage (N) 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Temps (s) Ecart en position (m) 0 20 40 60 80 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Temps (s) Glissement longitudinal 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 Temps (s) Raideur et amortissement K (s−2 ) (C+bK+Kc(dx/dt)) (s−1 ) Fig. 5. Evolution des différents paramètres du système simulé B. Utilisation du modèle asymptotique et du véhicule vir- tuel 0 10 20 30 40 50 0 5 10 15 20 25 Temps (s) Profil de vitesse (ms −1 ) Véhicule suivi Véhicule contrôlé 0 10 20 30 40 0 100 200 300 400 500 600 Temps (s) Distance parcourue (m) Véhicule suivi Véhicule contrôlé Véhicule virtuel Fig. 6. Profil de vitesse et distance parcourue avec influence du véhicule virtuel La figure 6 reproduit la simulation de l’insertion d’un véhicule devant le véhicule contrôlé. Cela se traduit par une diminution brutale de la distance inter-véhiculaire, puisque le nouveau véhicule suivi est le véhicule inséré, comme le montre l’encadré sur la figure 6. Nous voyons que le véhicule inséré rejoint le véhicule virtuel, et le véhicule contrôlé réagit en conséquence. VIII. Capacité et sécurité Nous voulons, ici, montrer comment peut évoluer la ca- pacité autoroutière avec des systèmes de régulation d’inter- distance. Pour cela, nous considérons que tous les véhicules sont automatisés, évoluent à la même vitesse ẋ = V , et ont tous une même longueur de 3m. Par aillleurs, la distance inter-véhiculaire est prise comme étant : d = a + bẋ + (c − 1 2(γBg) )ẋ2 . Nous supposons que γBg représente la capacité de freinage maximale d’un véhicule en détresse. Nous obte- nons les résultats sur les figures 7, pour différentes valeurs de a, b, c. Les capacités maximales actuelles, sur les auto- routes françaises du type périphérique parisien atteignent 0 5 10 15 20 25 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 vitesse (m/s) debit (nb. vehicules/h) Evolution du debit pour differentes distances a; b=0.2s, c=1/(2*0.8g) a=1m a=2m a=3m a=4m a=5m (a) 0 5 10 15 20 25 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 vitesse (m/s) debit (nb. vehicules/h) Evolution du debit pour differents temps de réaction; a=3m, c=1/(2*0.8g b=0.2s b=0.4s b=0.6s b=0.8s b=1s (b) 0 5 10 15 20 25 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 vitesse (m/s) debit (nb. vehicules/h) Evolution du debit pour differentes capacites de freinage; a=3m, b=0.2s 0.2g 0.4g 0.6g 0.8g 1g (c) Fig. 7. Evolution du débit du trafic pour diverses valeurs a, b, c 2200 véhicules par heure pour une vitesse de 50 km/h sur une voie, mais chutent à 1200 en forte congestion. Les fi- gures 7 montrent des résultats meilleurs, même avec des valeurs de a, b, c extrêmes. IX. Conclusion En nous basant sur un modèle non-linéaire du mode lon- gitudinal du véhicule, nous avons proposé un calcul de la distance de sécurité en fonction de la vitesse propre du véhicule. En remarquant, après simplification, que cette fonction peut s’approcher à l’aide d’une parabole, nous en avons estimé les paramètres à partir de mesures effectuées dans le trafic. Nous avons ensuite présenté une commande sous-optimale pour réguler le véhicule en vitesse et posi- tion, en donnant une version discrète du système. Le cas d’instabilité à vitesses faibles a été traité. Par ailleurs, nous avons donné un exemple d’insertion de véhicules. Finale- ment, ce travail est validé en simulation avec des résultats satisfaisants. Une validation de la méthode proposée sur véhicule instrumenté est en cours de réalisation. Références [1] O. Axelsson, S.V. Gololobov, Stability and error estimates for the θ-method for strongly monotone and infinitely stiff evolution equations, Numer. Math. 89 (2001), no. 1, 31-48, 2001. [2] C.K. Charles, C. Guanrong, Kalman filtering with realtime appli- cations, Springer, 1987. [3] J.K. Hedrick, J.C. Gerdes, D.B. Maciuca, D. Swaroop, Brake sys- tem modeling, control and integrated brake/throttle switching : phase I, California PATH Research Report, UCB-ITS-PRR-97- 21. [4] D.H. McMahon, J.K. Hedrick, Longitudinal model development for automated roadway vehicles, UCB-ITS-PRR-89-5, October 1989. [5] L.F. Shampine, M.W. Reichelt, The MATLAB ODE suite. Dedi- cated to C. William Gear on the occasion of his 60th birthday, SIAM J. Sci Comput., 18(1) :1-22, 1997. [6] E. Walter, L. Pronzato, Identification de modèles paramétriques, à partir de données expérimentales, Ed. Masson, Collection MASC, 1994. [7] M. Hoshiya, E. Saito, Structural identification by extended Kal- man filter, J. of Eng. mech., 12 :810-824, 1984. Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 911